Введение

естественные преобразования в теории категорий

Центральный объект изучения в теории категорий. В теории категорий, являющейся разделом математики, естественное преобразование предоставляет способ преобразования одного функтора в другой, сохраняя при этом внутреннюю структуру (то есть композицию морфизмов) задействованных категорий. Следовательно, естественное преобразование можно рассматривать как «морфизм функторов». Неформально, понятие естественного преобразования утверждает, что определенное отображение между функторами может быть выполнено согласованно для всей категории. Эта интуиция может быть формализована для определения так называемых категорий функторов. Естественные преобразования, наряду с категориями и функторами, являются одним из наиболее фундаментальных понятий теории категорий и, как следствие, встречаются в большинстве её приложений.

Модули

Пусть φ будет гомоморфизмом модулей правых модулей. Для каждого левого модуля M существует естественное отображение Hom(φ, M), образующее естественное преобразование. Для каждого правого модуля N существует естественное отображение Hom(N, φ), определяемое как Hom(N, φ)(x) = φ(x). Оно формирует естественное преобразование.

Гомоморфизм Гуревича

Функторы и естественные преобразования широко распространены в алгебраической топологии, где гомоморфизмы Гуревича служат примерами. Для любого остроконечного топологического пространства X и положительного целого числа n существует групповой гомоморфизм

из n-й гомотопической группы X в n-ю гомологическую группу X. Как πn и Hn, так и являются функторами из категории Top* остроконечных топологических пространств в категорию Grp групп, а является естественным преобразованием из πn в Hn.

Двойная двойная векторного пространства

Если дан эндофунктор, то есть функтор, отображающий категорию в саму себя, то существует естественное преобразование от функтора тождества к этому функтору, компонентами которого являются… Например, если *F* – поле, то для каждого векторного пространства *V* над *F* существует "естественное" инъективное линейное отображение из *V* в его двойственное двойственное пространство. Эти отображения "естественны" в следующем смысле: операция двойственного двойственного пространства является функтором, а сами отображения – компонентами естественного преобразования от функтора тождества к функтору двойственного двойственного пространства.

Неестественный изоморфизм

Понятие естественного преобразования является категориальным и утверждает (неформально), что конкретное отображение между функторами может быть последовательно определено для всей категории. Неформально, конкретное отображение (особенно изоморфизм) между отдельными объектами (а не целыми категориями) называют «естественным изоморфизмом», подразумевая, что оно фактически определено на всей категории и задает естественное преобразование функторов; формализация этой интуиции была одним из мотивирующих факторов в развитии теории категорий. И наоборот, конкретное отображение между конкретными объектами можно назвать неестественным изоморфизмом (или «этот изоморфизм не является естественным»), если это отображение нельзя расширить до естественного преобразования на всю категорию. Для заданного объекта и функтора (для простоты, пусть первый функтор будет тождественным) и изоморфизма, доказательство неестественности проще всего показать, предоставив автоморфизм, который не коммутирует с этим изоморфизмом (то есть ). Более строго, если требуется доказать, что и не являются естественно изоморфными, без ссылки на конкретный изоморфизм, необходимо показать, что для любого изоморфизма существует такой автоморфизм, с которым он не коммутирует; в некоторых случаях один автоморфизм работает для всех возможных изоморфизмов, а в других случаях нужно показать, как построить другой автоморфизм для каждого изоморфизма. Отображения категории играют решающую роль – любое инфраестественное преобразование является естественным, если единственными отображениями являются, например, тождественные отображения. Это аналогично (но более категориально) концепциям в теории групп или теории модулей, где данное разложение объекта в прямую сумму является «неестественным» или, скорее, «не единственным», поскольку существуют автоморфизмы, которые не сохраняют это разложение – см., например. Некоторые авторы различают в обозначениях, используя для естественного изоморфизма и для неестественного изоморфизма, а для обозначения равенства (обычно равенства отображений).

Пример: фундаментальная группа торов

В качестве примера различия между функциональным утверждением и отдельными объектами рассмотрим гомотопические группы пространства произведения, в частности, фундаментальную группу тора. Гомотопические группы пространства произведения естественным образом являются произведением гомотопических групп компонент, при этом изоморфизм задается проекцией на два сомножителя, поскольку отображения в пространство произведения являются точно произведениями отображений в компоненты – это функциональное утверждение. Однако, тор (который абстрактно является произведением двух окружностей) имеет фундаментальную группу, изоморфную , но расщепление не является естественным. Обратите внимание на использование , , и :

Этот абстрактный изоморфизм с произведением не является естественным, так как некоторые изоморфизмы не сохраняют произведение: самогомеоморфизм тора (рассматриваемого как факторпространство), заданный (геометрически – скрутка Дена вокруг одной из образующих кривых), действует на как эта матрица (она принадлежит общей линейной группе обратимых целочисленных матриц), которая не сохраняет разложение на произведение, поскольку она не диагональна. Однако, если тор задан как произведение – эквивалентно, если дано разложение пространства – то расщепление группы следует из общего утверждения, приведенного ранее. В категорных терминах, релевантная категория (сохраняющая структуру пространства произведения) – это «отображения пространств произведения, то есть пара отображений между соответствующими компонентами». Естественность – это категорное понятие, требующее предельной точности в отношении того, какие именно данные заданы: тор как пространство, которое случайно является произведением (в категории пространств и непрерывных отображений), отличается от тора, представленного как произведение (в категории произведений двух пространств и непрерывных отображений между соответствующими компонентами).

Пример: двойная финитномерная векторная область

Каждое конечномерное векторное пространство изоморфно своему двойственному пространству, но между двумя пространствами может существовать множество различных изоморфизмов. В общем случае, естественного изоморфизма между конечномерным векторным пространством и его двойственным пространством нет. Однако, связанные категории (с дополнительной структурой и ограничениями на отображения) обладают естественным изоморфизмом, как описано ниже. Двойственное пространство конечномерного векторного пространства снова является конечномерным векторным пространством той же размерности, и, следовательно, они изоморфны, поскольку размерность – единственная инвариантная характеристика конечномерных векторных пространств над данным полем. Однако, при отсутствии дополнительных ограничений (например, требования, чтобы отображения сохраняли выбранный базис), отображение из пространства в его двойственное не является однозначным, и, следовательно, такой изоморфизм требует выбора и является "неестественным". В категории конечномерных векторных пространств и линейных отображений можно определить инфраестественный изоморфизм из векторных пространств в их двойственные, выбирая изоморфизм для каждого пространства (например, выбирая базис для каждого векторного пространства и беря соответствующий изоморфизм), но это не определит естественное преобразование. Интуитивно это связано с тем, что требуется выбор, а строго – любой такой выбор изоморфизмов не будет коммутировать, например, с нулевым отображением; подробное обсуждение можно найти в [ссылка]. Начиная с конечномерных векторных пространств (как объектов) и тождественного и двойственного функторов, можно определить естественный изоморфизм, но для этого сначала необходимо добавить дополнительную структуру, а затем ограничить отображения от "всех линейных отображений" до "линейных отображений, сохраняющих эту структуру". Явно, для каждого векторного пространства требуется, чтобы оно поставлялось с данными изоморфизма в его двойственное пространство. Иными словами, в качестве объектов рассматриваются векторные пространства с невырожденной билинейной формой. Это определяет инфраестественный изоморфизм (изоморфизм для каждого объекта). Затем отображения ограничиваются только теми, которые коммутируют с изоморфизмами: или, другими словами, сохраняют билинейную форму: (Эти отображения определяют натурализатор изоморфизмов). Полученная категория, с объектами – конечномерными векторными пространствами с невырожденной билинейной формой, а с отображениями – линейными преобразованиями, сохраняющими билинейную форму, по построению имеет естественный изоморфизм от тождественного отображения к двойственному (каждое пространство имеет изоморфизм в свое двойственное, и отображения в категории должны коммутировать). В этом свете данная конструкция (добавление преобразований для каждого объекта, ограничение отображений для обеспечения коммутации с ними) является полностью общей и не зависит от каких-либо специфических свойств векторных пространств. В этой категории (конечномерные векторные пространства с невырожденной билинейной формой, линейные преобразования, сохраняющие билинейную форму) двойственное отображение между векторными пространствами можно отождествить с транспонированным. Часто, по причинам геометрического интереса, специализируются на подкатегории, требуя, чтобы невырожденные билинейные формы обладали дополнительными свойствами, такими как симметричность (ортогональные матрицы), симметричность и положительная определенность (пространство с внутренним произведением), симметричность и сесквилинейность (эрмитовы пространства), кососимметричность и полная изотропность (симплектическое векторное пространство) и т.д. – во всех этих категориях векторное пространство естественным образом отождествляется со своим двойственным посредством невырожденной билинейной формы.

Еще примеры

Каждый предел и копредел предоставляет пример простого естественного преобразования, так как конус эквивалентен естественному преобразованию, областью определения которого является диагональный функтор. Действительно, если пределы и копределы определяются непосредственно через их универсальное свойство, то они являются универсальными морфизмами в категории функторов.

Лемма Йонеды

Если *X* – объект локально малой категории *C*, то отображение Hom(*X*, –) определяет ковариантный функтор. Этот функтор называется представимым (в более общем смысле, представимым функтором является любой функтор, естественно изоморфный этому функтору при подходящем выборе *X*). Естественные преобразования из представимого функтора в произвольный функтор *F* полностью известны и легко описываются; это и есть содержание леммы Йонеды.

Исторические примечания

Сандэрс Мак-Лейн, один из основателей теории категорий, как говорят, заметил: "Я не изобрел категории для изучения функторов; я изобрел их для изучения естественных преобразований". Подобно тому, как изучение групп неполно без изучения гомоморфизмов, так и изучение категорий неполно без изучения функторов. Причина комментария Мак-Лейна в том, что само изучение функторов неполно без изучения естественных преобразований. Замечание Мак-Лейна было сделано в контексте аксиоматической теории гомологии. Можно показать, что различные способы построения гомологии совпадают: например, в случае симплициального комплекса группы, определенные напрямую, будут изоморфны группам сингулярной теории. То, что нельзя легко выразить без языка естественных преобразований, – это то, как гомологические группы согласованы с морфизмами между объектами, и как две эквивалентные теории гомологии имеют не только одинаковые гомологические группы, но и одинаковые морфизмы между ними.