Введение

Теория алгебраических структур в целом. Универсальная алгебра (иногда называемая общей алгеброй) — это область математики, изучающая сами алгебраические структуры, а не примеры ("модели") этих структур. Например, вместо изучения конкретных групп, универсальная алгебра изучает класс групп как объект исследования.

Основная идея

В универсальной алгебре алгебра (или алгебраическая структура) — это множество A вместе с набором операций над ним.

Арит

Операция с арностью n на множестве A – это функция, которая принимает n элементов из A и возвращает единственный элемент из A. Таким образом, операция с арностью 0 (или унарная операция) может быть представлена просто как элемент A, или константа, часто обозначаемая буквой, например, a. Операция с арностью 1 (или унарная операция) – это просто функция из A в A, часто обозначаемая символом, помещенным перед аргументом, например, ~x. Операция с арностью 2 (или бинарная операция) часто обозначается символом, помещенным между аргументами (также называемым инфиксной нотацией), например, x * y. Операции более высокой или неопределенной арности обычно обозначаются символами функций, с аргументами, заключенными в скобки и разделенными запятыми, например, f(x, y, z) или f(x1, ..., xn). Таким образом, об алгебре можно говорить как об алгебре определенного типа, где – упорядоченная последовательность натуральных чисел, представляющая арность операций этой алгебры. Однако некоторые исследователи допускают также операции с бесконечной арностью, такие как , где J – бесконечное множество индексов, что является операцией в алгебраической теории полных решеток.

Уравнения

После того, как операции были заданы, природа алгебры дополнительно определяется аксиомами, которые в универсальной алгебре часто формулируются в виде тождеств или уравнительных законов. Примером служит ассоциативная аксиома для бинарной операции, которая выражается уравнением x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z. Предполагается, что аксиома выполняется для всех элементов x, y и z множества A.

Примеры

Большинство привычных алгебраических систем в математике являются примерами многообразий, но не всегда очевидным образом, так как стандартные определения часто включают квантификацию или неравенства.

Другие примеры

Большинство алгебраических структур являются примерами универсальных алгебр. Кольца, полугруппы, квазигруппы, группоиды, магмы, петли и другие. Векторные пространства над фиксированным полем и модули над фиксированным кольцом также являются универсальными алгебрами. Они имеют бинарную операцию сложения и семейство унарных операторов скалярного умножения, по одному для каждого элемента поля или кольца. Примеры реляционных алгебр включают полурешётки, решётки и булевы алгебры.

Основные конструкции

Предполагаем, что тип был фиксирован. В универсальной алгебре существует три основные конструкции: гомоморфный образ, субальгебра и произведение. Гомоморфизм между двумя алгебрами A и B – это функция h : A → B, отображающая множество A в множество B, такая, что для каждой операции fA алгебры A и соответствующей ей операции fB алгебры B (арности, скажем, n), выполняется равенство h(fA(x1, …, xn)) = fB(h(x1), …, h(xn)). (Иногда индексы у f опускаются, если из контекста ясно, какой алгебре принадлежит функция.) Например, если e – константа (нулярная операция), то h(eA) = eB. Если ~ – унарная операция, то h(~x) = ~h(x). Если ∗ – бинарная операция, то h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y). И так далее. Некоторые операции, которые можно выполнять с гомоморфизмами, а также определения определенных специальных видов гомоморфизмов, приведены в разделе «Гомоморфизм». В частности, можно взять гомоморфный образ алгебры, h(A). Субальгебра алгебры A – это подмножество A, замкнутое относительно всех операций, определенных в A. Произведение некоторого множества алгебраических структур – это декартово произведение множеств, с операциями, заданными покоординатно.

Некоторые основные теоремы

Теоремы об изоморфизмах, охватывающие теоремы об изоморфизмах групп, колец, модулей и т.д. Теорема Биркоффа об HSP, утверждающая, что класс алгебр является разновидностью тогда и только тогда, когда он замкнут относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений.

Мотивация и заявки

В дополнение к своему объединяющему подходу, универсальная алгебра предоставляет глубокие теоремы, важные примеры и контрпримеры. Она служит полезной основой для тех, кто планирует начать изучение новых классов алгебр. Она позволяет применять методы, разработанные для определенных классов алгебр, к другим классам, переформулируя эти методы на языке универсальной алгебры (если это возможно) и интерпретируя их применительно к другим классам. Кроме того, она обеспечивает концептуальную ясность; как выразился Дж. Д. Х. Смит: "То, что кажется запутанным и сложным в конкретной системе, может оказаться простым и очевидным в подходящей общей системе". В частности, универсальная алгебра может быть применена к изучению моноидов, колец и решеток. До появления универсальной алгебры многие теоремы (особенно теоремы об изоморфизмах) доказывались отдельно для каждого из этих классов, но благодаря универсальной алгебре их можно доказать один раз и навсегда для всех типов алгебраических систем. Статья Хиггинса 1956 года, упомянутая ниже, получила широкое развитие благодаря предложенной ею структуре для ряда конкретных алгебраических систем, а его статья 1963 года примечательна обсуждением алгебр с частично определенными операциями, типичными примерами которых являются категории и группоиды. Это приводит к области алгебры высших размерностей, которую можно определить как изучение алгебраических теорий с частичными операциями, области определения которых задаются геометрическими условиями. Примечательными примерами являются различные формы категорий и группоидов высших размерностей.

Проблема удовлетворения ограничений

Универсальная алгебра предоставляет естественный язык для задачи об удовлетворимости ограничений (CSP). CSP относится к важному классу вычислительных задач, в которых, задана реляционная алгебра A и экзистенциальное высказывание над этой алгеброй, требуется выяснить, может ли это высказывание быть выполнено в A. Алгебра A часто фиксирована, поэтому CSPA относится к задаче, экземпляром которой является только экзистенциальное высказывание. Доказано, что любую вычислительную задачу можно сформулировать как CSPA для некоторой алгебры A. Например, задачу раскраски в n цветов можно представить как CSP для алгебры , то есть алгебры с n элементами и единственным отношением – неравенством. Дихотомическая гипотеза (доказанная в апреле 2017 года) утверждает, что если A – конечная алгебра, то CSPA является либо задачей класса P, либо NP-полной.

Обобщения

Универсальная алгебра также изучалась с использованием методов теории категорий. В этом подходе, вместо перечисления операций и уравнений, которым эти операции подчиняются, алгебраическую структуру можно описать, используя категории особого рода, известные как теории Лоувера или, в более общем случае, алгебраические теории. Альтернативно, алгебраические структуры можно описать с помощью монад. Эти два подхода тесно связаны, и каждый из них имеет свои преимущества. В частности, каждая теория Лоувера порождает монаду на категории множеств, в то время как любая "конечная" монода на категории множеств происходит из теории Лоувера. Однако монода описывает алгебраические структуры в рамках одной конкретной категории (например, категории множеств), тогда как алгебраические теории описывают структуру в рамках широкого класса категорий (а именно, категорий, имеющих конечные произведения). Более поздним развитием в теории категорий является теория операд – операд представляет собой набор операций, подобный универсальной алгебре, но с ограничением, что уравнения разрешены только между выражениями с переменными, без дублирования или опущения переменных. Таким образом, кольца можно описать как так называемые "алгебры" некоторых операд, но не группы, поскольку закон 1=gg−1 = 1 дублирует переменную g слева и опускает ее справа. На первый взгляд это может показаться обременительным ограничением, но преимущество состоит в том, что операд обладают определенными достоинствами: например, можно гибридизировать понятия кольца и векторного пространства, чтобы получить понятие ассоциативной алгебры, но нельзя сформировать аналогичный гибрид понятий группы и векторного пространства. Другим развитием является частичная алгебра, где операторы могут быть частичными функциями. Определенные частичные функции также могут быть обработаны обобщением теорий Лоувера, известным как "по существу алгебраические теории". Другим обобщением универсальной алгебры является теория моделей, которую иногда описывают как "универсальная алгебра + логика".

История

В книге Альфреда Норта Уайтхеда «Трактат об универсальной алгебре», опубликованной в 1898 году, термин «универсальная алгебра» имел практически такое же значение, как и сегодня. Уайтхед признает Уильяма Роуэна Гамильтона и Августа Де Моргана основоположниками этого направления, а Джеймса Джозефа Сильвестра – автором самого термина. В то время структуры, такие как алгебры Ли и гиперболические кватернионы, привлекли внимание к необходимости расширения алгебраических структур за пределы ассоциативно-множительного класса. В рецензии Александр Макфарлейн писал: «Основная идея работы заключается не в объединении различных методов и не в обобщении обычной алгебры с целью их включения, а скорее в сравнительном изучении их структур». В то время алгебра логики Джорджа Буля представляла собой резкий контрапункт обычной алгебре чисел, поэтому термин «универсальный» служил для смягчения возникшей напряженности. Ранние работы Уайтхеда были направлены на объединение кватернионов (благодаря Гамильтону), Ausdehnungslehre Грассмана и алгебры логики Буля. Уайтхед писал в своей книге: «Такие алгебры обладают внутренней ценностью для отдельного детального изучения; кроме того, они заслуживают сравнительного изучения ради пролитого таким образом света на общую теорию символического рассуждения и на алгебраический символизм в частности. Сравнительное исследование неизбежно предполагает предварительное отдельное изучение, поскольку сравнение невозможно без знаний». В период с 1935 по 1950 год большинство работ были написаны в духе статей Биркоффа, посвященных свободным алгебрам, конгруэнтности и решеткам субальгебр, а также теоремам о гомоморфизмах. Хотя развитие математической логики сделало возможным применение к алгебре, это происходило медленно; результаты, опубликованные Анатолием Мальцевым в 1940-х годах, остались незамеченными из-за войны. Лекция Тарского на Международном конгрессе математиков в Кембридже в 1950 году ознаменовала новый период, в котором развивались аспекты теории моделей, главным образом самим Тарским, а также Ч. Чангом, Леоном Хенкином, Бьярни Йонссоном, Роджером Линдоном и другими. В конце 1950-х Эдвард Марчевский подчеркнул важность свободных алгебр, что привело к публикации более 50 работ по алгебраической теории свободных алгебр самим Марчевским совместно с Яном Мицельским, Владиславом Наркевичем, Витольдом Ниткой, Дж. Плонкой, С. Сверчковским, К. Урбаником и другими. Начиная с диссертации Уильяма Лоувера в 1963 году, методы теории категорий стали важными в универсальной алгебре.