Обобщение обратных элементов (сложения и умножения)

Введение

Обобщение аддитивных и мультипликативных инверсов

В математике понятие инверсного элемента обобщает понятия противоположных (−x) и обратных (1/x) чисел. При наличии операции, обозначенной здесь ∗, и элемента идентичности, обозначенного e, если x ∗ y = e = 1, то говорят, что x является левой инверсией к y, а y – правой инверсией к x. (Элемент идентичности – это элемент, для которого x ∗ e = x = 1 и e ∗ y = y = 1 для всех x и y, для которых левые части определены.) Когда операция ∗ ассоциативна, если элемент x имеет как левую, так и правую инверсию, то эти две инверсии равны и единственны; они называются инверсным элементом или просто инверсией. Часто добавляется прилагательное для уточнения операции, например, аддитивная инверсия, мультипликативная инверсия и функциональная инверсия. В этом случае (ассоциативная операция) обратимый элемент – это элемент, имеющий инверсию. В кольце обратимый элемент, также называемый единицей, является элементом, обратимым относительно умножения (это не является двусмысленным, поскольку каждый элемент обратим относительно сложения). Инверсии часто используются в группах, где каждый элемент обратим, и в кольцах, где обратимые элементы также называются единицами. Они также обычно используются для операций, которые не определены для всех возможных операндов, таких как обратные матрицы и обратные функции. Это было обобщено в теории категорий, где, по определению, изоморфизм является обратимым морфизмом. Слово «inverse» происходит от wikt:inversus, что означает «перевернутый», «вывернутый наизнанку». Это может быть связано с дробями, где (мультипликативная) инверсия получается путем обмена числителя и знаменателя (инверсия от – ).

В группах

Группа — это множество с ассоциативной операцией, имеющей нейтральный элемент, и для каждого элемента которой существует обратный элемент. Таким образом, обратное отображение — это функция из группы в себя, которую также можно рассматривать как унарную операцию. Оно также является инволюцией, поскольку обратное к обратному элементу — это сам элемент. Группа может действовать на множество как преобразования этого множества. В этом случае обратный элемент группы определяет преобразование, являющееся обратным к преобразованию, определённому этим элементом, то есть преобразование, "отменяющее" преобразование, определённое им.

Например, группа кубика Рубика представляет собой конечные последовательности элементарных движений. Обратная последовательность получается применением обратного движения к каждому элементу в обратном порядке.

В моноидах

Моноид — это множество с ассоциативной операцией, имеющим нейтральный элемент. Обратимые элементы в моноиде образуют группу относительно моноидной операции. Кольцо является моноидом относительно умножения в кольце. В этом случае обратимые элементы также называются единицами и образуют группу единиц кольца. Если моноид некоммутативен, могут существовать необратимые элементы, имеющие левый или правый обратный элемент (но не оба одновременно, поскольку в противном случае элемент был бы обратимым). Например, множество функций из множества в само себя является моноидом относительно композиции функций. В этом моноиде обратимыми элементами являются биекции; элементы, имеющие левый обратный элемент, являются инъекциями, а элементы, имеющие правый обратный элемент, — сюръекциями. Для заданного моноида может возникнуть желание расширить его, добавив обратные элементы к некоторым из его элементов. Это, как правило, невозможно для некоммутативных моноидов, но в коммутативном моноиде можно добавить обратные элементы к тем элементам, которые обладают свойством сокращения (элемент x обладает свойством сокращения, если влечет за собой и влечет за собой 1 =). Такое расширение моноида допускается построением группы Гротендика. Это метод, обычно используемый для построения целых чисел из натуральных чисел, рациональных чисел из целых чисел и, в более общем случае, поля частных целостного домена и локализаций коммутативных колец.

В кольцах

Кольцо — это алгебраическая структура с двумя операциями, сложением и умножением, которые обозначаются как обычные операции над числами. При сложении кольцо является абелевой группой, что означает, что сложение коммутативно и ассоциативно; оно имеет нейтральный элемент, называемый аддитивным нейтральным элементом и обозначаемый 0; и каждый элемент x имеет обратный элемент, называемый его аддитивным обратным и обозначаемый −x. В силу коммутативности понятия левого и правого обратного элемента не имеют смысла, поскольку они не отличаются от обратных элементов. При умножении кольцо является моноидом; это означает, что умножение ассоциативно и имеет нейтральный элемент, называемый мультипликативным нейтральным элементом и обозначаемый 1. Элемент, обратимый относительно умножения, называется единицей. Обратный элемент или мультипликативный обратный (для избежания путаницы с аддитивными обратными) единицы x обозначается или, когда умножение коммутативно, .

Аддитивный нейтральный элемент 0 никогда не является единицей, за исключением случая, когда кольцо является нулевым кольцом, которое имеет 0 в качестве единственного элемента. Если 0 — единственная не-единица, то кольцо является полем, если умножение коммутативно, или полем делений в противном случае. В некомутативном кольце (то есть кольце, в котором умножение не коммутативно) необратимый элемент может иметь один или несколько левых или правых обратных элементов. Это, например, справедливо для линейных функций из бесконечномерного векторного пространства в себя. Коммутативное кольцо (то есть кольцо, в котором умножение коммутативно) может быть расширено путем добавления обратных элементов к элементам, которые не являются делителями нуля (то есть их произведение с ненулевым элементом не может быть равно 0). Это процесс локализации, который, в частности, порождает поле рациональных чисел из кольца целых чисел и, в более общем случае, поле частных интегральной области. Локализация также используется с делителями нуля, но в этом случае исходное кольцо не является подкольцом локализации; вместо этого оно отображается неинъективно в локализацию.

Матрицы

Умножение матриц обычно определяется для матриц над полем и непосредственно распространяется на матрицы над кольцами, rng и полукольцами. Однако в этом разделе рассматриваются только матрицы над коммутативным кольцом в связи с использованием понятий ранга и определителя. Если A – матрица размера m×n (то есть матрица с m строками и n столбцами), а B – матрица размера p×q, то произведение AB определено, если n = p, и только в этом случае. Единичная матрица, то есть нейтральный элемент для умножения матриц, – это квадратная матрица (с одинаковым числом строк и столбцов), у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0. Обратимая матрица – это обратимый элемент относительно умножения матриц. Матрица над коммутативным кольцом R обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом в R (то есть, является единицей в R). В этом случае её обратная матрица может быть вычислена по правилу Крамера. Если R – поле, то определитель обратим тогда и только тогда, когда он не равен нулю. Поскольку случай полей встречается чаще, часто можно встретить определение обратимых матриц как матриц с ненулевым определителем, но это неверно для колец. В случае целочисленных матриц (то есть матриц с целочисленными элементами) обратимая матрица – это матрица, обратная к которой также является целочисленной матрицей. Такая матрица называется унимодулярной, чтобы отличать её от матриц, обратимых над действительными числами. Квадратная целочисленная матрица является унимодулярной тогда и только тогда, когда её определитель равен 1 или −1, поскольку эти два числа – единственные обратимые элементы в кольце целых чисел. Матрица имеет левый обратный элемент тогда и только тогда, когда её ранг равен числу столбцов. Этот левый обратный элемент не является единственным, за исключением квадратных матриц, где левый обратный элемент совпадает с обратной матрицей. Аналогично, правый обратный элемент существует тогда и только тогда, когда ранг равен числу строк; он не является единственным в случае прямоугольной матрицы и совпадает с обратной матрицей в случае квадратной матрицы.

Функции, гомоморфизмы и морфизмы

Композиция — это частичная операция, которая обобщает гомоморфизмы алгебраических структур и морфизмы категорий в операции, также называемые композицией, и обладающие многими свойствами, схожими со сложением функций. Во всех случаях композиция ассоциативна. Если и , то композиция определена тогда и только тогда, когда или, в случаях функций и гомоморфизмов, . В случаях функций и гомоморфизмов это означает, что кообласть равна или включена в область определения . В случае морфизмов это означает, что кообласть равна области определения .

Существует тождественный элемент для каждого объекта X (множества, алгебраической структуры или объекта), который также называется тождественным отображением в случае функций. Функция обратима тогда и только тогда, когда она является биекцией. Обратимый гомоморфизм или морфизм называется изоморфизмом. Гомоморфизм алгебраических структур является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией. Обратная к биекции функция называется обратной функцией. В остальных случаях говорят об обратных изоморфизмах. Функция имеет левообратную или правообратную функцию тогда и только тогда, когда она инъективна или сюръективна, соответственно. Гомоморфизм алгебраической структуры, имеющий левообратную или правообратную функцию, соответственно инъективен или сюръективен, но обратное не всегда верно для некоторых алгебраических структур. Например, обратное верно для векторных пространств, но не для модулей над кольцом: гомоморфизм модулей, имеющий левообратную или правообратную функцию, называется соответственно расщепляемым эпиморфизмом или расщепляемым мономорфизмом. Эта терминология также используется для морфизмов в любой категории.

В полугруппе

Определение в предыдущем разделе обобщает понятие обратного в группе относительно понятия нейтрального элемента. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие обратного, исключив нейтральный элемент, но сохранив ассоциативность, то есть в полугруппе. В полугруппе S элемент x называется (фон Неймана) регулярным, если существует элемент z в S, такой что xzx = x; z иногда называют псевдообратным. Элемент y называется (просто) обратным к x, если xyx = x и y = yxy. Каждый регулярный элемент имеет хотя бы один обратный: если x = xzx, то легко проверить, что y = zxz является обратным к x, как определено в этом разделе. Еще один легко доказуемый факт: если y является обратным к x, то e = xy и f = yx являются идемпотентами, то есть ee = e и ff = f. Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, и ex = xf = x, ye = fy = y, при этом e действует как левый нейтральный элемент для x, а f – как правый нейтральный элемент, и для y роли левого и правого нейтральных элементов меняются местами. Это простое наблюдение можно обобщить, используя отношения Грина: каждый идемпотент e в произвольной полугруппе является левым нейтральным элементом для Re и правым нейтральным элементом для Le. Интуитивное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов порождает локальный левый нейтральный элемент и, соответственно, локальный правый нейтральный элемент. В моноиде понятие обратного, как определено в предыдущем разделе, строго уже, чем определение, данное в этом разделе. Только элементы в классе Грина H1 имеют обратный с точки зрения унитальной магмы, в то время как для любого идемпотента e элементы He имеют обратный, как определено в этом разделе. Согласно этому более общему определению, обратные не обязаны быть единственными (или существовать) в произвольной полугруппе или моноиде. Если все элементы регулярны, то полугруппа (или моноид) называется регулярной, и каждый элемент имеет хотя бы один обратный. Если каждый элемент имеет ровно один обратный, как определено в этом разделе, то полугруппа называется обратной полугруппой. Наконец, обратная полугруппа с единственным идемпотентом является группой. В обратной полугруппе может быть поглощающий элемент 0, поскольку 000 = 0, в то время как в группе это невозможно. Вне теории полугрупп единственный обратный, как определено в этом разделе, иногда называют квазиобратным. Это обычно оправдано, поскольку в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) выполняется ассоциативность, что делает это понятие обобщением левого/правого обратного относительно нейтрального элемента (см. Обобщенный обратный).

Примеры

Все примеры в этом разделе связаны с ассоциативными операторами.

Стыковки Галуа

Нижнее и верхнее сопряженные в (монотонном) соединении Галуа, L и G, являются квазиобратными друг другу; то есть, LGL = L и GLG = G, и одно однозначно определяет другое. Однако они не являются левыми или правыми обратными друг другу.