Введение

Коллоквиальная версия парадокса Рассела – парадокс самоссылки.

Парадокс парикмахера – это головоломка, вытекающая из парадокса Рассела. Бертранд Рассел использовал его в качестве иллюстрации парадокса, хотя он указывает, что идея принадлежит неназванному лицу, предложившему ему её. Головоломка демонстрирует, что, казалось бы, вполне вероятный сценарий логически невозможен. В частности, она описывает парикмахера, который определяется таким образом, что он бреет себя и не бреет себя одновременно, что подразумевает невозможность существования такого парикмахера.

Парадокс

Парикмахер — это "тот, кто брит всех тех, и только тех, кто не брит себя". Вопрос в том, бреется ли парикмахер сам? Любой ответ на этот вопрос приводит к противоречию: парикмахер не может бриться сам, поскольку он брит только тех, кто не брит себя. Следовательно, если он бреется, он перестает быть парикмахером, о котором идет речь. И наоборот, если парикмахер не брит себя, то он попадает в группу людей, которых должен брить этот парикмахер, и, следовательно, как этот парикмахер, он должен брить себя. В своей первоначальной формулировке этот парадокс не имеет решения, так как такого парикмахера не может существовать. Вопрос является ловушкой, поскольку предполагает существование парикмахера, существование которого невозможно, что является бессмысленным утверждением и, следовательно, ложным. Существуют и другие непарадоксальные варианты, но это другие случаи.

История

Этот парадокс часто ошибочно приписывают Бертрану Расселу (например, Мартину Гарднеру в книге "Ага!"). Он был предложен Расселу как альтернативная формулировка парадокса Рассела, который Рассел разработал, чтобы продемонстрировать, что теория множеств в той форме, в которой её использовали Георг Кантор и Готлоб Фреге, содержит противоречия. Однако Рассел отвергал, что парадокс парикмахера является частным случаем его собственного парадокса:

Этот вопрос рассматривается подробнее в разделе «Прикладные версии парадокса Рассела».

В логике первого порядка

Это предложение утверждает, что существует парикмахер X. Его истинность ложна, поскольку экзистенциальная часть неудовлетворима (является противоречием) из-за универсального квантора. Универсально квантифицированная переменная y включает в себя каждый элемент в области определения, включая нашего печально известного парикмахера X. Следовательно, когда переменной y присваивается значение x, предложение в универсальном кванторе можно переписать как , что является частным случаем противоречия. Поскольку предложение ложно для бикондционала, вся универсальная часть ложна. Поскольку экзистенциальная часть является конъюнкцией с одним ложным операндом, всё предложение ложно. Другой способ показать это – отрицать всё предложение и получить тавтологию. Никто не является парикмахером, следовательно, нет решения парадокса.