Введение
Тройной продукт
В абстрактной алгебре медиальная магма или медиальный группоид — это магма или группоид (то есть множество с бинарной операцией), удовлетворяющее тождеству 1 = (x • y) • (u • v) = (x • u) • (y • v), или, проще, 1 = xy • uv = xu • yv для всех x, y, u и v, при этом используется соглашение, что примыкание обозначает ту же операцию, но имеет более высокий приоритет. Это тождество по-разному называлось медиальным, абелевым, чередованием, транспозицией, обменом, бикоммутативным, бисимметричным, сверхкоммутативным, энтропическим и т. д. Любая коммутативная полугруппа является медиальной магмой, и медиальная магма имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда она является коммутативным моноидом. Направление «только если» является аргументом Экмана — Хилтона. Другой класс полугрупп, формирующих медиальные магмы, — нормальные полосы. Медиальная магма не обязана быть ассоциативной: для любой нетривиальной абелевой группы с операцией + и целыми числами m ≠ n новая бинарная операция, определяемая как 1 = x • y = mx + ny, порождает медиальную магму, которая, как правило, не является ни ассоциативной, ни коммутативной. Используя категорное определение произведения, для магмы M можно определить картезианский квадрат магмы M × M с операцией 1 = (x, y) • (u, v) = (x • u, y • v). Бинарная операция • магмы M, рассматриваемая как отображение из M × M в M, отображает (x, y) в x • y, (u, v) в u • v и (x • u, y • v) в (x • u) • (y • v). Следовательно, магма M является медиальной тогда и только тогда, когда её бинарная операция является гомоморфизмом магмы из M × M в M. Это можно легко выразить в терминах коммутативной диаграммы, что приводит к понятию медиального магматического объекта в категории с декартовым произведением. (См. обсуждение в разделе об автомагматическом объекте.) Если f и g — эндоморфизмы медиальной магмы, то отображение f • g, определяемое поточечным умножением 1 = (f • g)(x) = f(x) • g(x), само по себе является эндоморфизмом. Следовательно, множество End(M) всех эндоморфизмов медиальной магмы M само является медиальной магмой.
1=(x • y) • (u • v) = (x • u) • (y • v),
or more simply,
1=xy • uv = xu • yv
for all x, y, u and v, using the convention that juxtaposition denotes the same operation but has higher precedence. This identity has been variously called medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi commutative, bisymmetric, surcommutative, entropic, etc. Any commutative semigroup is a medial magma, and a medial magma has an identity element if and only if it is a commutative monoid. The "only if" direction is the Eckmann–Hilton argument. Another class of semigroups forming medial magmas are normal bands. Medial magmas need not be associative: for any nontrivial abelian group with operation + and integers m ≠ n, the new binary operation defined by 1=x • y = mx + ny yields a medial magma that in general is neither associative nor commutative. Using the categorical definition of product, for a magma M, one may define the Cartesian square magma M × M with the operation
1=(x, y) • (u, v) = (x • u, y • v). The binary operation • of M, considered as a mapping from M × M to M, maps (x, y) to x • y, (u, v) to u • v, and (x • u, y • v) to (x • u) • (y • v) Hence, a magma M is medial if and only if its binary operation is a magma homomorphism from M × M to M. This can easily be expressed in terms of a commutative diagram, and thus leads to the notion of a medial magma object in a category with a Cartesian product. (See the discussion in auto magma object.) If f and g are endomorphisms of a medial magma, then the mapping f • g defined by pointwise multiplication
1=(f • g)(x) = f(x) • g(x)
is itself an endomorphism. It follows that the set End(M) of all endomorphisms of a medial magma M is itself a medial magma.
Обобщения
Термин медиальный или (чаще) энтропический также используется для обобщения на несколько операций. Алгебраическая структура называется энтропической алгеброй, если любые две операции удовлетворяют обобщённому медиальному тождеству. Пусть f и g — операции арности m и n соответственно. Тогда требуется, чтобы f и g удовлетворяли
Неассоциативные примеры
Особенно естественный пример неассоциативной медиальной магмы дают коллинеарные точки на эллиптических кривых. Операция 1/x • y = −(x + y) для точек на кривой, соответствующая проведению прямой через точки x и y и определению x • y как третьей точки пересечения этой прямой с эллиптической кривой, является (коммутативной) медиальной магмой, изотопной операции сложения на эллиптической кривой. В отличие от сложения на эллиптической кривой, x • y не зависит от выбора нейтрального элемента на кривой и дополнительно удовлетворяет тождествам 1/x • (x • y) = y. Это свойство часто используется в чисто геометрических доказательствах ассоциативности сложения на эллиптической кривой.