Кіріспе
үштік көбейтінді
Абстрактік алгебрада медиалдық магма немесе медиалдық группоид — екілік операциясы бар жиын (магма немесе группоид), ол 1 = (x • y) • (u • v) = (x • u) • (y • v) теңдігін қанағаттандырады, немесе қарапайымдап айтқанда, 1 = xy • uv = xu • yv, барлық x, y, u және v үшін. Мұндағы жапсарлас жазу бірдей операцияны білдіреді, бірақ жоғары басымдыққа ие. Бұл теңдік медиалдық, абельдік, ауыстыру, транспозиция, алмасу, екікоммутативтік, екісимметриялық, сюркоммутативтік, энтропиялық және т.б. деп әр түрлі аталады. Кез келген коммутативті жартылай топ — медиалдық магма, ал медиалдық магмада сәйкестік элементі бар, егер және тек қана ол коммутативті моноид болса. «Егер ғана» бағыты — Экманн-Хилтон аргументі. Медиалдық магма құрайтын жартылай топтардың тағы бір класы — қалыпты жолақтар. Медиалдық магмалардың ассоциативті болуы міндетті емес: + операциясы бар және m ≠ n бүтін сандары бар кез келген тривиалды емес абельдік топ үшін, 1 = x • y = mx + ny арқылы анықталған жаңа екілік операция медиалдық магманы тудырады, ол әдетте ассоциативті де, коммутативті де емес. Магма M үшін өнімнің категориялық анықтамасын қолдана отырып, 1 = (x, y) • (u, v) = (x • u, y • v) операциясымен M × M магмасының декарттық квадратын анықтауға болады. M-нің • екілік операциясы M × M-ден M-ге бейнелеу ретінде қарастырылса, (x, y) x • y, (u, v) u • v, ал (x • u, y • v) (x • u) • (y • v) бейнеленеді. Сондықтан, M магмасы медиалдық болады, егер және тек қана оның екілік операциясы M × M-ден M-ге магма гомоморфизмі болса. Бұл оңай коммутативті диаграмма түрінде көрсетілуі мүмкін, демек, картезиандық көбейтіндісі бар категорияда медиалдық магма объектісіне алып келеді. (Автомагма объектісіндегі талқылауды қараңыз.) Егер f және g медиалдық магманың эндоморфизмдері болса, онда нүктелік көбейту арқылы анықталған f • g бейнелеуі 1 = (f • g)(x) = f(x) • g(x) өзі эндоморфизм болады. Осыдан медиалдық магма M-нің барлық эндоморфизмдер жиыны End(M) өзі медиалдық магма екені шығады.
1=(x • y) • (u • v) = (x • u) • (y • v),
or more simply,
1=xy • uv = xu • yv
for all x, y, u and v, using the convention that juxtaposition denotes the same operation but has higher precedence. This identity has been variously called medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi commutative, bisymmetric, surcommutative, entropic, etc. Any commutative semigroup is a medial magma, and a medial magma has an identity element if and only if it is a commutative monoid. The "only if" direction is the Eckmann–Hilton argument. Another class of semigroups forming medial magmas are normal bands. Medial magmas need not be associative: for any nontrivial abelian group with operation + and integers m ≠ n, the new binary operation defined by 1=x • y = mx + ny yields a medial magma that in general is neither associative nor commutative. Using the categorical definition of product, for a magma M, one may define the Cartesian square magma M × M with the operation
1=(x, y) • (u, v) = (x • u, y • v). The binary operation • of M, considered as a mapping from M × M to M, maps (x, y) to x • y, (u, v) to u • v, and (x • u, y • v) to (x • u) • (y • v) Hence, a magma M is medial if and only if its binary operation is a magma homomorphism from M × M to M. This can easily be expressed in terms of a commutative diagram, and thus leads to the notion of a medial magma object in a category with a Cartesian product. (See the discussion in auto magma object.) If f and g are endomorphisms of a medial magma, then the mapping f • g defined by pointwise multiplication
1=(f • g)(x) = f(x) • g(x)
is itself an endomorphism. It follows that the set End(M) of all endomorphisms of a medial magma M is itself a medial magma.
Жалпылау
Медиалдық немесе (көбінесе) энтропиялық термин бірнеше операцияларға қатысты жалпылау үшін де қолданылады. Алгебралық құрылым энтропиялық алгебра деп аталады, егер кез келген екі операция медиалдық тепе-теңдіктің жалпыланған түрін қанағаттандырса. f және g операцияларының реті m және n болсын. Онда f және g келесі шартты орындауы тиіс:
Қауымдастықты білдірмейтін мысалдар
Эллиптік қисықтардағы түзу бойда жатқан нүктелер, ассоциативті емес медиалдық магманың нақты мысалы болып табылады. Қисық бойындағы нүктелер үшін 1=x • y = −(x + y) операциясы, x және y арасындағы түзу сызығын жүргізуге және x • y-ді сол түзудің эллиптік қисықпен үшінші қиылысу нүктесі ретінде анықтауға сәйкес келеді, бұл эллиптік қисық қосу операциясына изотоптық (коммутативтік) медиалдық магма болып табылады. Эллиптік қисық қосудан өзгеше, x • y қисықтағы бейтарап элементтің таңдалуына тәуелсіз және 1=x • (x • y) = y тепе-теңдігін қанағаттандырады. Бұл қасиет эллиптік қисық қосудың ассоциативті екенін таза геометриялық тұрғыдан дәлелдеу үшін жиі қолданылады.