Введение

Наименьшее целое число, представимое в виде суммы двух положительных целых кубов n различными способами.
Номерные знаки, присваиваемые транспортным средствам, используемым для сдачи внаём.

В математике, n-е число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее целое число, которое можно представить в виде суммы двух положительных целых кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³, также известное как число Харди — Рамануджана. Название происходит от разговора между математиками Г. Х. Харди и Шринивасой Рамануджаном. По словам Харди:

История и определение

Пара слагаемых числа Харди — Рамануджана Ta(2) = 1729 впервые была упомянута Бернардом Френиклем де Бесси, который опубликовал свои наблюдения в 1657 году. Число 1729 стало знаменитым как первое таксономическое число в начале XX века благодаря истории о Шринивасе Рамануджане, утверждавшем, что оно является наименьшим для его конкретного примера двух слагаемых. В 1938 году Г. Х. Харди и Э. М. Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко можно преобразовать в программу для генерации таких чисел. Однако само доказательство не содержит никаких утверждений о том, являются ли полученные таким образом числа наименьшими возможными, и поэтому его нельзя использовать для нахождения точного значения Ta(n). Таксономические числа, следующие за 1729, были найдены с помощью компьютеров. Джон Лич получил Ta(3) в 1957 году. Э. Розенстиль, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенстиль обнаружили Ta(4) в 1989 году. Дж. А. Дардис обнаружил Ta(5) в 1994 году, что было подтверждено Дэвидом У. Уилсоном в 1999 году. Уве Холлербах объявил о нахождении Ta(6) в списке рассылки NMBRTHRY 9 марта 2008 года, основываясь на статье 2003 года, опубликованной Calude и др., которая давала 99% вероятность того, что число действительно равно Ta(6). Кристиан Бойер в 2006 году нашёл верхние границы для Ta(7) – Ta(12). Ограничение слагаемых положительными числами необходимо, поскольку допущение отрицательных чисел позволяет получить больше (и меньшие) чисел, которые можно представить в виде суммы кубов n различными способами. Для обеспечения альтернативных, менее ограничительных определений такого рода, было введено понятие таксономического числа. В некотором смысле, указание двух слагаемых и третьей степени также является ограничивающим; обобщённое таксономическое число позволяет этим значениям быть отличными от двух и трёх соответственно.