Введение

Стандартное представление математического объекта
"Каноническая форма" в лингвистике
"Каноническая форма" в католическом брачном праве

В математике и информатике каноническая, нормальная или стандартная форма математического объекта представляет собой стандартный способ представления этого объекта в виде математического выражения. Часто это представление является наиболее простым и позволяет однозначно идентифицировать объект. Различие между "каноническими" и "нормальными" формами варьируется в зависимости от области исследования. В большинстве областей каноническая форма задает уникальное представление для каждого объекта, в то время как нормальная форма лишь определяет его вид, без требования уникальности. Каноническая форма положительного целого числа в десятичной системе счисления – это конечная последовательность цифр, не начинающаяся с нуля. В более общем случае, для класса объектов, для которых определено отношение эквивалентности, каноническая форма заключается в выборе конкретного объекта из каждого класса эквивалентности. Например, нормальная форма Жордана является канонической формой для подобия матриц. Форма ступенчатого эшелона является канонической формой, если эквивалентными считаются матрица и ее левое произведение на невырожденную матрицу. В информатике, и особенно в компьютерной алгебре, при представлении математических объектов в компьютере обычно существует множество различных способов представления одного и того же объекта. В этом контексте каноническая форма – это представление, при котором каждый объект имеет уникальное представление (а канонизация – это процесс приведения представления к канонической форме). Таким образом, равенство двух объектов можно легко проверить, сравнив их канонические формы. Несмотря на это преимущество, канонические формы часто зависят от произвольного выбора (например, порядка переменных), что затрудняет проверку равенства двух объектов и требует проведения независимых вычислений. Поэтому в компьютерной алгебре нормальная форма является более слабым понятием: нормальная форма – это представление, в котором ноль представлен единственным образом. Это позволяет проверить равенство, приводя разность двух объектов к нормальной форме. Каноническая форма также может означать дифференциальную форму, определенную естественным (каноническим) образом.

Примеры

Примечание: в этом разделе "до" некоторого отношения эквивалентности E означает, что каноническая форма, как правило, не единственна, но если у одного объекта есть две различные канонические формы, то они E-эквивалентны.

Обозначение больших чисел

Стандартная форма используется многими математиками и учеными для записи очень больших чисел в более кратком и понятном виде, наиболее распространенным примером которой является научная нотация.

Интегрируемые системы

Каждый дифференцируемый многообраз имеет котангентный расслоение. Это расслоение всегда можно снабдить определенной дифференциальной формой, называемой канонической формой. Эта форма наделяет котангентное расслоение структурой симплектического многообразия и позволяет интегрировать векторные поля на многообразии посредством уравнений Эйлера-Лагранжа или посредством гамильтоновой механики. Такие системы интегрируемых дифференциальных уравнений называются интегрируемыми системами.

Динамические системы

Изучение динамических систем соприкасается с изучением интеграбельных систем; в этой области существует понятие нормальной формы (динамических систем).

Трехмерная геометрия

В изучении многообразий в трех измерениях рассматриваются первая фундаментальная форма, вторая фундаментальная форма и третья фундаментальная форма.

Функциональный анализ

Объекты A эквивалентны B, если:

Пространства Гильберта в нормальной форме. Если A и B – оба пространства Гильберта бесконечной размерности, то A и B изометрически изоморфны.

Пространства последовательностей (с возможностью замены индексного множества I на другое множество той же мощности).

Коммутативные C*-алгебры с единицей: A и B изморфны как C*-алгебры.

Алгебра непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве, с точностью до гомеоморфизма базового пространства.

Системы переписывания

Символическое преобразование формулы из одной формы в другую называется "переписыванием" этой формулы. Можно изучать абстрактные свойства переписывания общих формул, исследуя набор правил, по которым формулы могут быть корректно преобразованы. Это "правила переписывания" – неотъемлемая часть абстрактной системы переписывания. Распространенный вопрос заключается в том, возможно ли привести некоторое общее выражение к единой, общей форме, называемой нормальной формой. Если различные последовательности переписываний приводят к одной и той же форме, то эта форма может быть названа нормальной формой, а само переписывание – конфлюэнтным. Не всегда возможно получить нормальную форму.

Ламбда-расчет

Ламбда-терм находится в бета-нормальной форме, если невозможно выполнить бета-редукцию; лямбда-исчисление является частным случаем абстрактной системы переписывания. В нетипизированном лямбда-исчислении, например, данный терм не имеет нормальной формы. В типизированном лямбда-исчислении любой корректно сформированный терм может быть приведен к своей нормальной форме.

Теория графов

В теории графов, являющейся разделом математики, канонизация графов — это задача нахождения канонической формы заданного графа G. Каноническая форма — это помеченный граф Canon(G), изоморфный графу G, такой, что любой граф, изоморфный G, имеет ту же каноническую форму, что и G. Следовательно, решение задачи канонизации графов позволяет решить и задачу об изоморфизме графов: чтобы проверить, изоморфны ли два графа G и H, нужно вычислить их канонические формы Canon(G) и Canon(H) и проверить, совпадают ли эти две канонические формы.

Вычислительные технологии

В вычислительной технике приведение данных к какой-либо канонической форме обычно называется нормализацией данных. Например, нормализация базы данных — это процесс организации полей и таблиц реляционной базы данных для минимизации избыточности и зависимостей. В области безопасности программного обеспечения распространенной уязвимостью является неконтролируемый вредоносный ввод (см. внедрение кода). Способом устранения этой проблемы является корректная проверка входных данных. Перед проверкой входные данные обычно нормализуются путем удаления кодировок (например, HTML-кодирования) и приведения данных к единому общему набору символов. Другие типы данных, как правило, связанные с обработкой сигналов (включая аудио и изображения) или машинным обучением, могут быть нормализованы для обеспечения ограниченного диапазона значений. В управлении контентом применима концепция единого источника достоверной информации (ESDI), как и в нормализации баз данных в целом и в разработке программного обеспечения. Компетентные системы управления контентом предоставляют логические способы ее реализации, такие как трансклюзия.