Введение
Нелинейная динамическая система
Возбудимая среда – это нелинейная динамическая система, обладающая способностью распространять волну определенного типа и не способная проводить другую волну до истечения определенного времени (известного как рефрактерный период). Лес является примером возбудимой среды: после лесного пожара огонь не может вернуться на выжженный участок, пока растительность не восстановится после рефрактерного периода и не отрастет заново. В химии возбудимыми средами являются осциллирующие реакции, например, реакция Белоусова-Жаботинского и реакция Бриггса-Раушера. Возбудимость клеток – это изменение мембранного потенциала, необходимое для клеточных реакций в различных тканях. Потенциал покоя лежит в основе возбудимости клеток, и эти процессы фундаментальны для генерации градированных потенциалов и потенциалов действия. Нормальная и патологическая активность сердца и мозга может быть смоделирована как возбудимая среда. Группа зрителей на спортивном мероприятии представляет собой возбудимую среду, что можно наблюдать на примере «мексиканской волны» (так названной по месту своего первого появления на чемпионате мира по футболу 1986 года в Мексике).
An excitable medium is a nonlinear dynamical system which has the capacity to propagate a wave of some description, and which cannot support the passing of another wave until a certain amount of time has passed (known as the refractory time). A forest is an example of an excitable medium: if a wildfire burns through the forest, no fire can return to a burnt spot until the vegetation has gone through its refractory period and regrown. In chemistry, oscillating reactions are excitable media, for example the Belousov–Zhabotinsky reaction and the Briggs–Rauscher reaction. Cell excitability is the change in membrane potential that is necessary for cellular responses in various tissues. The resting potential forms the basis of cell excitability and these processes are fundamental for the generation of graded and action potentials. Normal and pathological activities in the heart and brain can be modelled as excitable media. A group of spectators at a sporting event are an excitable medium, as can be observed in a Mexican wave (so called from its initial appearance in the 1986 World Cup in Mexico).
Моделирование возбуждаемых сред
Возбудимые среды могут быть смоделированы как с помощью частных дифференциальных уравнений, так и с помощью клеточных автоматов.
С сотовыми автоматами
Клеточные автоматы представляют собой простую модель, помогающую понять возбуждаемые среды. Возможно, самая простая такая модель – это [указать конкретную модель, если она известна, иначе оставить как есть]. См. клеточный автомат Гринберга-Гастингса для этой модели. Каждая клетка автомата предназначена для представления некоторого участка моделируемой среды (например, участок деревьев в лесу или сегмент сердечной ткани). Каждая клетка может находиться в одном из трех следующих состояний:
Спокойная или возбуждаемая – клетка не возбуждена, но может быть возбуждена. В примере с лесным пожаром это соответствует не сгоревшим деревьям. Возбужденная – клетка возбуждена. Деревья горят. Рефрактерная – клетка недавно была возбуждена и временно не возбуждается. Это соответствует участку земли, где деревья сгорели, а растительность еще не восстановилась. Как и во всех клеточных автоматах, состояние конкретной клетки в следующий момент времени зависит от состояния окружающих ее клеток – ее соседей – в текущий момент времени. В примере лесного пожара простые правила, приведенные в клеточном автомате Гринберга-Гастингса, могут быть изменены следующим образом:
Если клетка спокойная, то она остается спокойной, пока один или несколько ее соседей не возбуждены. В примере с лесным пожаром это означает, что участок земли загорается только в том случае, если горит соседний участок. Если клетка возбуждена, она переходит в рефрактерное состояние на следующей итерации. После того, как деревья сгорели, участок земли остается выжженным. Если клетка рефрактерная, то ее оставшийся рефрактерный период сокращается в следующем периоде, пока он не закончится и клетка снова не станет возбуждаемой. Деревья отрастают. Эта функция может быть уточнена в зависимости от конкретной среды. Например, в модель лесного пожара можно добавить влияние ветра.
Одномерные волны
Обычно одномерная среда образует замкнутую цепь, то есть кольцо. Например, мексиканскую волну можно смоделировать как кольцо, идущее по периметру стадиона. Если волна движется в одном направлении, она в конечном итоге вернется в исходную точку. Если к моменту возвращения волны исходное место уже прошло через свой период рефрактерности, то волна продолжит распространяться по кольцу (и будет делать это бесконечно). Однако, если исходное место все еще находится в состоянии рефрактерности, когда волна возвращается, волна остановится. Например, в случае мексиканской волны, если по какой-то причине люди, начавшие волну, все еще стоят на своих местах, когда она возвращается, она не сможет продолжаться. Если же они уже сели, то волна, теоретически, может продолжаться.
Двумерные волны
В двухмерной среде можно наблюдать несколько форм волн. Расходящаяся волна возникает в одной точке среды и распространяется от неё во все стороны. Например, лесной пожар может начаться от удара молнии в центре леса и распространяться наружу. Спиральная волна также возникает в одной точке, но распространяется по спирали. Считается, что спиральные волны лежат в основе таких явлений, как тахикардия и фибрилляция. Спиральные волны являются одним из механизмов, вызывающих фибрилляцию, когда они организуются в длительные циркулирующие процессы, называемые роторами.