Введение

Регулярный многоугольник, который можно построить циркулем и линейкой.

В математике, построимый многоугольник — это регулярный многоугольник, который можно построить с помощью циркуля и линейки. Например, правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой, а правильный семиугольник — нет. Существует бесконечно много построимых многоугольников, но известно только 31 с нечётным числом сторон.

Условия конструкторской пригодности

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки, другие – нет. Древнегреческие математики умели строить правильные многоугольники с 3, 4 или 5 сторонами. Это привело к вопросу: возможно ли построить все правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n-угольники (то есть многоугольники с n сторонами) можно построить, а какие – нет? Карл Фридрих Гаусс доказал возможность построения правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовых периодов в своей работе «Disquisitiones Arithmeticae». Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие для возможности построения правильных многоугольников. Гаусс без доказательств утверждал, что это условие также необходимо, но никогда не опубликовал своё доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Вантцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса — Вантцеля: правильный n-угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n является произведением степени двойки и любого числа различных простых чисел Ферма. Здесь степень двойки – это число вида , где m ≥ 0 – целое число. Простое число Ферма – это простое число вида , где m ≥ 0 – целое число. Количество участвующих простых чисел Ферма может быть равно 0, в этом случае n является степенью двойки. Чтобы свести геометрическую задачу к задаче чистой теории чисел, в доказательстве используется тот факт, что правильный n-угольник можно построить, если и только если косинус является построимым числом, то есть может быть выражен через четыре основных арифметических действия и извлечение квадратного корня. Эквивалентно, правильный n-угольник можно построить, если любой корень n-го циклотомического многочлена является построимым числом.

Связь с треугольником Паскаля

Поскольку известно 5 простых чисел Ферма, мы знаем 31 число, являющееся произведением различных простых чисел Ферма, и, следовательно, существует 31 построимый правильный многоугольник с нечетным числом сторон. Это 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295. Как заметил Джон Конвей в книге «Книга чисел», эти числа, записанные в двоичной системе, равны первым 32 строкам треугольника Паскаля по модулю 2, за исключением верхней строки, которая соответствует моногону. (По этой причине единицы в таком списке образуют приближение к треугольнику Серпинского.) Эта закономерность нарушается, поскольку следующее число Ферма является составным (4294967297 = 641 × 6700417), поэтому следующие строки не соответствуют построимым многоугольникам. Неизвестно, существуют ли другие простые числа Ферма, и, следовательно, неизвестно, сколько существует правильных многоугольников с нечетным числом сторон, которые можно построить. В общем случае, если существует q простых чисел Ферма, то существует 2q−1 построимых правильных многоугольников с нечетным числом сторон.

Компасные и прямоугольные конструкции

Построения с помощью циркуля и линейки известны для всех известных конструктивных многоугольников. Если n = pq, где p = 2 или p и q взаимно простые, n-угольник может быть построен из p-угольника и q-угольника. Если p = 2, постройте q-угольник и разделите пополам один из его центральных углов. Из этого можно построить 2q-угольник. Если p > 2, впишите p-угольник и q-угольник в одну окружность так, чтобы они имели общую вершину. Поскольку p и q взаимно простые, существуют целые числа a и b такие, что ap + bq = 1. Тогда 2aπ/q + 2bπ/p = 2π/pq. Следовательно, можно построить pq-угольник. Таким образом, достаточно найти построения с помощью циркуля и линейки для n-угольников, где n – простое число Ферма. Построение равностороннего треугольника просто и известно с древности; см. Равносторонний треугольник. Построения правильного пятиугольника были описаны как Евклидом (Элементы, ок. 300 г. до н.э.), так и Птолемеем (Альмагест, ок. 150 г. н.э.). Хотя Гаусс доказал, что правильный 17-угольник конструктивен, он фактически не показал, как это сделать. Первое построение выполнил Эрчингер спустя несколько лет после работы Гаусса. Первые явные построения правильного 257-угольника были даны Магнусом Георгом Паукером (1822) и Фридрихом Юлиусом Ришелотом (1832). Построение правильного 65537-угольника впервые было приведено Иоганном Густавом Гермесом (1894). Построение очень сложное; Гермес потратил 10 лет на завершение рукописи объемом в 200 страниц.

Галерея

Слева направо, построения 15-угольника, 17-угольника, 257-угольника и 65537-угольника. Показан только первый этап построения 65537-угольника; построения 15-угольника, 17-угольника и 257-угольника приведены полностью.

Другие конструкции

Концепция конструктивности, обсуждаемая в этой статье, относится конкретно к построениям с помощью циркуля и линейки. Больше построений становится возможным, если допускать использование других инструментов. Так называемые конструкции Нёвиса, например, используют размеченную линейку. Построения представляют собой математическую идеализацию и предполагаются выполненными абсолютно точно. Правильный многоугольник с n сторонами может быть построен с помощью линейки, циркуля и трисектора угла тогда и только тогда, когда где r, s, k ≥ 0 и где π – различные простые числа Пьерпонта, большие 3 (простые числа вида ). Эти многоугольники – именно те правильные многоугольники, которые можно построить с помощью конических сечений, и те, которые можно построить с помощью складывания бумаги. Первые числа сторон этих многоугольников:
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296.