Введение
Плоская фигура, ограниченная отрезками прямых.
В геометрии многоугольник (/p//ɒ//l//ɪ//ɡ//ɒ//n/) — это плоская фигура, состоящая из отрезков прямых, соединенных для образования замкнутой ломаной линии. Отрезки замкнутой ломаной линии называются ребрами или сторонами многоугольника. Точки, в которых сходятся два ребра, являются вершинами или углами многоугольника. n-угольник — это многоугольник с n сторонами; например, треугольник — это 3-угольник. Простой многоугольник — это многоугольник, не пересекающий сам себя. Более точно, единственными допустимыми пересечениями между отрезками прямых, составляющими многоугольник, являются общие конечные точки последовательных отрезков в ломаной линии. Простой многоугольник является границей области плоскости, называемой заполненным многоугольником. Внутренняя область заполненного многоугольника — это его тело, также известное как многоугольная область или многоугольная поверхность. В контексте, когда речь идет только о простых и заполненных многоугольниках, термин «многоугольник» может относиться только к простому или заполненному многоугольнику. Ломаная линия может пересекать сама себя, образуя звездные многоугольники и другие самопересекающиеся многоугольники. Некоторые источники также рассматривают замкнутые ломаные линии в евклидовом пространстве как тип многоугольника (неправильный многоугольник), даже если ломаная линия не лежит в одной плоскости. Многоугольник — это двухмерный пример более общего политопа в любом количестве измерений. Существует множество других обобщений многоугольников, определенных для различных целей.
Этимология
Слово «полигон» происходит от греческого прилагательного πολύς (polús) «много» и γωνία (gōnía) «угол». Предполагается, что γόνυ (gónu) «колено» может быть происхождением компонента «gon».
Количество сторон
Полигоны классифицируются главным образом по числу сторон.
Равенство и симметрия
Равноугольный: все углы равны. Равносторонний: все стороны имеют одинаковую длину. Правильный: одновременно равносторонний и равноугольный. Циклический: все вершины лежат на одной окружности, называемой описанной окружностью. Касательный: все стороны касаются вписанной окружности. Изогональный или вершинно-транзитивный: все вершины находятся в пределах одной и той же орбиты симметрии. Многоугольник также цикличен и равноуголен. Изотоксальный или реберно-транзитивный: все стороны находятся в пределах одной и той же орбиты симметрии. Многоугольник также равносторонний и касательный. Свойство правильности можно определить и другими способами: многоугольник является правильным тогда и только тогда, когда он одновременно изогонален и изотоксален, или, что эквивалентно, одновременно цикличен и равносторонний. Невыпуклый правильный многоугольник называется правильным звездным многоугольником.
Разное
Прямолинейный: стороны многоугольника встречаются под прямым углом, то есть все его внутренние углы равны 90 или 270 градусам. Монотонный относительно данной прямой L: любая прямая, ортогональная L, пересекает многоугольник не более чем в двух точках.
Свойства и формулы
Всюду предполагается евклидова геометрия.
Уголки
Любой многоугольник имеет столько же углов, сколько сторон. У каждого угла есть несколько углов. Два наиболее важных из них:
Interior angle – The sum of the interior angles of a simple n gon is (n − 2) × [[Pi radians or (n − 2) × 180 degrees. This is because any simple n gon ( having n sides ) can be considered to be made up of (n − 2) triangles, each of which has an angle sum of π radians or 180 degrees. The measure of any interior angle of a convex regular n gon is radians or degrees. The interior angles of regular star polygons were first studied by Poinsot, in the same paper in which he describes the four regular star polyhedra: for a regular gon (a p gon with central density q), each interior angle is radians or degrees. Exterior angle – The exterior angle is the supplementary angle to the interior angle. Tracing around a convex n gon, the angle "turned" at a corner is the exterior or external angle. Tracing all the way around the polygon makes one full turn, so the sum of the exterior angles must be 360°. This argument can be generalized to concave simple polygons, if external angles that turn in the opposite direction are subtracted from the total turned. Tracing around an n gon in general, the sum of the exterior angles (the total amount one rotates at the vertices) can be any integer multiple d of 360°, e. g. 720° for a pentagram and 0° for an angular "eight" or antiparallelogram, where d is the density or turning number of the polygon.
Внутренний угол – Сумма внутренних углов простого n-гона равна (n − 2) × π радиан или (n − 2) × 180 градусов. Это связано с тем, что любой простой n-гон (имеющий n сторон) можно рассматривать как состоящий из (n − 2) треугольников, каждый из которых имеет сумму углов π радиан или 180 градусов. Мера любого внутреннего угла выпуклого правильного n-гона составляет π/n радиан или 180/n градусов. Внутренние углы правильных звездных многоугольников впервые были изучены Пуансо в той же работе, в которой он описывает четыре правильных звездных многогранника: для правильного p-гона (многоугольника с центральной плотностью q), каждый внутренний угол равен (p-2)π/p радиан или (p-2)180/p градусов.
Interior angle – The sum of the interior angles of a simple n gon is (n − 2) × [[Pi radians or (n − 2) × 180 degrees. This is because any simple n gon ( having n sides ) can be considered to be made up of (n − 2) triangles, each of which has an angle sum of π radians or 180 degrees. The measure of any interior angle of a convex regular n gon is radians or degrees. The interior angles of regular star polygons were first studied by Poinsot, in the same paper in which he describes the four regular star polyhedra: for a regular gon (a p gon with central density q), each interior angle is radians or degrees. Exterior angle – The exterior angle is the supplementary angle to the interior angle. Tracing around a convex n gon, the angle "turned" at a corner is the exterior or external angle. Tracing all the way around the polygon makes one full turn, so the sum of the exterior angles must be 360°. This argument can be generalized to concave simple polygons, if external angles that turn in the opposite direction are subtracted from the total turned. Tracing around an n gon in general, the sum of the exterior angles (the total amount one rotates at the vertices) can be any integer multiple d of 360°, e. g. 720° for a pentagram and 0° for an angular "eight" or antiparallelogram, where d is the density or turning number of the polygon.
Внешний угол – Внешний угол является смежным углом к внутреннему углу. Описывая путь вокруг выпуклого n-гона, угол "поворота" в углу является внешним углом. Описывая путь вокруг всего многоугольника, совершается один полный оборот, поэтому сумма внешних углов должна составлять 360°. Этот аргумент можно обобщить на вогнутые простые многоугольники, если из общей суммы поворота вычесть внешние углы, поворачивающиеся в противоположном направлении. Описывая путь вокруг n-гона в общем случае, сумма внешних углов (общая величина поворота на вершинах) может быть любым целым кратным d от 360°, например, 720° для пентаграммы и 0° для угловой "восьмерки" или антипараллелограмма, где d – это плотность или число оборотов многоугольника.
Interior angle – The sum of the interior angles of a simple n gon is (n − 2) × [[Pi radians or (n − 2) × 180 degrees. This is because any simple n gon ( having n sides ) can be considered to be made up of (n − 2) triangles, each of which has an angle sum of π radians or 180 degrees. The measure of any interior angle of a convex regular n gon is radians or degrees. The interior angles of regular star polygons were first studied by Poinsot, in the same paper in which he describes the four regular star polyhedra: for a regular gon (a p gon with central density q), each interior angle is radians or degrees. Exterior angle – The exterior angle is the supplementary angle to the interior angle. Tracing around a convex n gon, the angle "turned" at a corner is the exterior or external angle. Tracing all the way around the polygon makes one full turn, so the sum of the exterior angles must be 360°. This argument can be generalized to concave simple polygons, if external angles that turn in the opposite direction are subtracted from the total turned. Tracing around an n gon in general, the sum of the exterior angles (the total amount one rotates at the vertices) can be any integer multiple d of 360°, e. g. 720° for a pentagram and 0° for an angular "eight" or antiparallelogram, where d is the density or turning number of the polygon.
Площадь
В этом разделе вершины рассматриваемого многоугольника принимаются в заданном порядке. Для удобства в некоторых формулах также будет использоваться обозначение 1 = (xₙ, yₙ) = (x₀, y₀).
Обобщения
Идея многоугольника была обобщена различными способами. Сферический многоугольник – это замкнутая цепь дуг больших кругов (сторон) и вершин на поверхности сферы. Он допускает существование дигона, многоугольника, имеющего только две стороны и два угла, что невозможно на плоскости. Сферические многоугольники играют важную роль в картографии (создании карт) и в построении однородных многогранников Витхоффа. Косой многоугольник не лежит в плоскости, а изгибается в трех (или более) измерениях. Хорошо известными примерами служат полигоны Петри регулярных политопов. Апеирогон – это бесконечная последовательность сторон и углов, не образующая замкнутую фигуру, но не имеющая концов, поскольку простирается бесконечно в обоих направлениях. Косой апеирогон – это бесконечная последовательность сторон и углов, не лежащих в плоскости. Многоугольник с отверстиями – это планарный многоугольник, связанный просто или кратно, с одной внешней границей и одной или несколькими внутренними границами (отверстиями). Комплексный многоугольник – это конфигурация, аналогичная обычному многоугольнику, существующая в комплексной плоскости с двумя действительными и двумя мнимыми измерениями. Абстрактный многоугольник – это алгебраическое частично упорядоченное множество, представляющее различные элементы (стороны, вершины и т.д.) и их связи. Реальный геометрический многоугольник считается реализацией соответствующего абстрактного многоугольника. В зависимости от отображения все описанные здесь обобщения могут быть реализованы. Полиэдр – это трехмерное тело, ограниченное плоскими многоугольными гранями, аналогично многоугольнику в двух измерениях. Соответствующие фигуры в четырех и более измерениях называются политопами. (В других соглашениях слова «полиэдр» и «политоп» используются в любом измерении, с тем отличием, что политоп обязательно ограничен.)
A spherical polygon is a circuit of arcs of great circles (sides) and vertices on the surface of a sphere. It allows the digon, a polygon having only two sides and two corners, which is impossible in a flat plane. Spherical polygons play an important role in cartography (map making) and in Wythoff's construction of the uniform polyhedra. A skew polygon does not lie in a flat plane, but zigzags in three (or more) dimensions. The Petrie polygons of the regular polytopes are well known examples. An apeirogon is an infinite sequence of sides and angles, which is not closed but has no ends because it extends indefinitely in both directions. A skew apeirogon is an infinite sequence of sides and angles that do not lie in a flat plane. A polygon with holes is an area connected or multiply connected planar polygon with one external boundary and one or more interior boundaries (holes). A complex polygon is a configuration analogous to an ordinary polygon, which exists in the complex plane of two real and two imaginary dimensions. An abstract polygon is an algebraic partially ordered set representing the various elements (sides, vertices, etc.) and their connectivity. A real geometric polygon is said to be a realization of the associated abstract polygon. Depending on the mapping, all the generalizations described here can be realized. A polyhedron is a three dimensional solid bounded by flat polygonal faces, analogous to a polygon in two dimensions. The corresponding shapes in four or higher dimensions are called polytopes. (In other conventions, the words polyhedron and polytope are used in any dimension, with the distinction between the two that a polytope is necessarily bounded.)
История
Полигоны известны с древних времен. Регулярные многоугольники были известны древним грекам, при этом пентаграмма, невыпуклый правильный многоугольник (звёздный многоугольник), появилась уже в VII веке до н.э. на кратере работы Аристофана, найденном в Каэре и ныне хранящемся в Капитолийском музее. Первое известное систематическое исследование невыпуклых многоугольников в общем случае было проведено Томасом Брэдвардином в XIV веке. В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил понятие многоугольника для комплексной плоскости, где каждое вещественное измерение сопровождается мнимым, чтобы создать комплексные многоугольники.
В природе
Полигоны встречаются в горных образованиях, чаще всего в виде плоских граней кристаллов, где углы между сторонами зависят от типа минерала, из которого образован кристалл. Правильные шестиугольники могут образовываться при охлаждении лавы, формируя области плотно упакованных колонн базальта, которые можно увидеть на Скале Великана в Северной Ирландии или на Дьявольском столбе в Калифорнии. В биологии поверхность восковых сот, строящихся пчелами, представляет собой множество шестиугольников, а боковые стенки и основание каждой ячейки также являются многоугольниками.
Компьютерная графика
В компьютерной графике многоугольник — это примитив, используемый для моделирования и рендеринга. Они определяются в базе данных, содержащей массивы вершин (координаты геометрических вершин, а также другие атрибуты многоугольника, такие как цвет, затенение и текстура), информацию о связности и материалы. Любая поверхность моделируется как тесселяция, называемая многоугольной сеткой. Если квадратная сетка имеет n + 1 точек (вершин) на стороне, то в сетке содержится n² квадратов или 2n² треугольников, поскольку квадрат состоит из двух треугольников. На каждый треугольник приходится (n + 1)² / 2n² вершин. При большом значении n это значение приближается к половине. Или, каждая вершина внутри квадратной сетки соединена четырьмя ребрами (линиями). Система визуализации извлекает из базы данных структуру многоугольников, необходимых для создания сцены. Эта структура передается в оперативную память и, наконец, в систему отображения (экран, телевизионные мониторы и т. д.), чтобы сцена могла быть отображена. В процессе этого система визуализации выполняет рендеринг многоугольников в правильной перспективе, подготавливая обработанные данные для передачи в систему отображения. Хотя многоугольники являются двумерными, благодаря компьютерной системе они размещаются в визуальной сцене в правильной трехмерной ориентации. В компьютерной графике и вычислительной геометрии часто возникает необходимость определить, находится ли заданная точка внутри простого многоугольника, заданного последовательностью отрезков линий. Эта задача называется задачей определения положения точки внутри многоугольника.