Введение
Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами. Четырёхсторонние математические фигуры.
four sided mathematical shapes
In geometry a quadrilateral is a four sided polygon, having four edges (sides) and four corners (vertices). The word is derived from the Latin words quadri, a variant of four, and latus, meaning "side". It is also called a tetragon, derived from Greek "tetra" meaning "four" and "gon" meaning "corner" or "angle", in analogy to other polygons (e. g. pentagon). Since "gon" means "angle", it is analogously called a quadrangle, or 4 angle. A quadrilateral with vertices , , and is sometimes denoted as
Quadrilaterals are either simple (not self intersecting), or complex (self intersecting, or crossed). Simple quadrilaterals are either convex or concave. The interior angles of a simple (and planar) quadrilateral ABCD add up to 360 degrees of arc, that is
All non self crossing quadrilaterals tile the plane, by repeated rotation around the midpoints of their edges.
В геометрии четырехугольник – это четырёхсторонний многоугольник, имеющий четыре стороны и четыре вершины. Слово происходит от латинских слов *quadri*, вариант слова «четыре», и *latus*, означающего «сторона». Его также называют тетрагоном, образованным от греческих слов «tetra», означающего «четыре», и «gon», означающего «угол», по аналогии с другими многоугольниками (например, пятиугольником). Поскольку «gon» означает «угол», его также называют четырехугольником или четырёхугольником с четырьмя углами. Четырехугольник с вершинами , , и иногда обозначается как .
four sided mathematical shapes
In geometry a quadrilateral is a four sided polygon, having four edges (sides) and four corners (vertices). The word is derived from the Latin words quadri, a variant of four, and latus, meaning "side". It is also called a tetragon, derived from Greek "tetra" meaning "four" and "gon" meaning "corner" or "angle", in analogy to other polygons (e. g. pentagon). Since "gon" means "angle", it is analogously called a quadrangle, or 4 angle. A quadrilateral with vertices , , and is sometimes denoted as
Quadrilaterals are either simple (not self intersecting), or complex (self intersecting, or crossed). Simple quadrilaterals are either convex or concave. The interior angles of a simple (and planar) quadrilateral ABCD add up to 360 degrees of arc, that is
All non self crossing quadrilaterals tile the plane, by repeated rotation around the midpoints of their edges.
Четырехугольники бывают простые (не самопересекающиеся) или сложные (самопересекающиеся). Простые четырехугольники бывают выпуклые или вогнутые. Сумма внутренних углов простого (и плоского) четырехугольника ABCD составляет 360 градусов, то есть
four sided mathematical shapes
In geometry a quadrilateral is a four sided polygon, having four edges (sides) and four corners (vertices). The word is derived from the Latin words quadri, a variant of four, and latus, meaning "side". It is also called a tetragon, derived from Greek "tetra" meaning "four" and "gon" meaning "corner" or "angle", in analogy to other polygons (e. g. pentagon). Since "gon" means "angle", it is analogously called a quadrangle, or 4 angle. A quadrilateral with vertices , , and is sometimes denoted as
Quadrilaterals are either simple (not self intersecting), or complex (self intersecting, or crossed). Simple quadrilaterals are either convex or concave. The interior angles of a simple (and planar) quadrilateral ABCD add up to 360 degrees of arc, that is
All non self crossing quadrilaterals tile the plane, by repeated rotation around the midpoints of their edges.
Все несамопересекающиеся четырехугольники могут покрыть плоскость при повторном вращении вокруг середин своих сторон.
four sided mathematical shapes
In geometry a quadrilateral is a four sided polygon, having four edges (sides) and four corners (vertices). The word is derived from the Latin words quadri, a variant of four, and latus, meaning "side". It is also called a tetragon, derived from Greek "tetra" meaning "four" and "gon" meaning "corner" or "angle", in analogy to other polygons (e. g. pentagon). Since "gon" means "angle", it is analogously called a quadrangle, or 4 angle. A quadrilateral with vertices , , and is sometimes denoted as
Quadrilaterals are either simple (not self intersecting), or complex (self intersecting, or crossed). Simple quadrilaterals are either convex or concave. The interior angles of a simple (and planar) quadrilateral ABCD add up to 360 degrees of arc, that is
All non self crossing quadrilaterals tile the plane, by repeated rotation around the midpoints of their edges.
Простые четырехугольники
Любой четырёхугольник, не имеющий точек самопересечения, является простым четырёхугольником.
Конкавные четырехугольники
В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180°, и одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника. Дарт (или наконечник стрелы) — это вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, подобной ромбу, но с одним тупым внутренним углом. См. Ромб.
Комплексные четырехугольники
Четырехугольник, пересекающий сам себя, называют по-разному: крестовый четырехугольник, пересеченный четырехугольник, четырехугольник-бабочка или четырехугольник-бант. В пересеченном четырехугольнике сумма четырех "внутренних" углов по обе стороны от точки пересечения (два острых и два тупых, все либо слева, либо справа при обходе фигуры) равна 720°. Пересеченная трапеция (США) или трапеция (Великобритания): пересеченный четырехугольник, в котором одна пара не смежных сторон параллельна (как у обычной трапеции). Антипараллелограмм: пересеченный четырехугольник, в котором каждая пара не смежных сторон имеет равную длину (как у параллелограмма). Пересеченный прямоугольник: антипараллелограмм, стороны которого образованы двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника, вследствие чего он имеет одну пару параллельных противоположных сторон. Пересеченный квадрат: частный случай пересеченного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.
Специальные сегменты линий
Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки, соединяющие противоположные вершины. Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Они пересекаются в "центре вершин" четырехугольника (см. ниже). Четыре маловысоты выпуклого четырехугольника — это перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны.
Площадь выпуклого четырехугольника
Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами .
Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея
В любом выпуклом четырёхугольнике ABCD сумма квадратов четырёх сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четыре раза квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей. Таким образом, где x – расстояние между серединами диагоналей. Это соотношение можно рассматривать как обобщение теоремы косинусов для четырёхугольника. В циклическом четырёхугольнике, где A + C = 180°, оно сводится к pq = ac + bd. Поскольку cos (A + C) ≥ −1, это также даёт доказательство неравенства Птолемея.
where x is the distance between the midpoints of the diagonals. This relation can be considered to be a law of cosines for a quadrilateral. In a cyclic quadrilateral, where A + C = 180°, it reduces to pq = ac + bd. Since cos (A + C) ≥ −1, it also gives a proof of Ptolemy's inequality.
Заметные точки и линии в выпуклом четырёхугольнике
Центр четырехугольника может быть определен несколькими различными способами. "Центроид вершин" получается, если рассматривать четырехугольник как пустой, но с равными массами, расположенными в его вершинах. "Центроид сторон" получается, если считать, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), получается, если рассматривать поверхность четырехугольника как имеющую постоянную плотность. В общем случае эти три точки не совпадают. "Центроид вершин" является точкой пересечения двух бимедиан. Как и для любого многоугольника, x и y координаты центроида вершин являются средними арифметическими x и y координат вершин. "Центроид площади" четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть Ga, Gb, Gc, Gd – центроиды треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Тогда "центроид площади" является точкой пересечения прямых GaGc и GbGd. В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогов описанной и ортоцентрической окружностей треугольника. Однако два таких центра можно построить следующим образом. Пусть Oa, Ob, Oc, Od – центры описанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно, а Ha, Hb, Hc, Hd – ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда точка пересечения прямых OaOc и ObOd называется квазиописанным центром, а точка пересечения прямых HaHc и HbHd – квазиортоцентрическим центром выпуклого четырехугольника. Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q, являющимися точками пересечения прямых AD и BC и AB и CD соответственно, окружности (PAB), (PCD), (QAD) и (QBC) проходят через общую точку M, называемую точкой Микеля. Для выпуклого четырехугольника ABCD, в котором E – точка пересечения диагоналей, а F – точка пересечения продолжений сторон BC и AD, пусть ω – окружность, проходящая через точки E и F и пересекающая CB внутри в точке M и DA внутри в точке N. Пусть CA пересекает ω снова в точке L, а DB пересекает ω снова в точке K. Тогда выполняется следующее: прямые NK и ML пересекаются в точке P, расположенной на стороне AB; прямые NL и KM пересекаются в точке Q, расположенной на стороне CD. Точки P и Q называются "точками Паскаля", образованными окружностью ω на сторонах AB и CD.
Другие свойства выпуклых четырехугольников
Пусть на всех сторонах четырехугольника построены внешние квадраты. Отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, (a) равны по длине и (b) перпендикулярны. Следовательно, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника. Это утверждение известно как теорема Ван Аубеля. Для любого простого четырехугольника с заданными длинами сторон существует описанный около окружности четырехугольник с теми же длинами сторон. Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.
Таксономия
Иерархическая таксономия четырёхугольников представлена на рисунке справа. Более низкие классы являются частными случаями более высоких классов, к которым они относятся. Обратите внимание, что термин "трапеция" здесь используется в североамериканском значении (британский эквивалент – трапецоид). На протяжении всего текста используются включительные определения.
Четвероугольники с кривой
Неплоский четырехугольник называется скошенным четырехугольником. Формулы для вычисления его двугранных углов по длинам сторон и углу между двумя смежными сторонами были выведены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, содержащих "сжатое" кольцо из четырех атомов. Исторически термин "гош-четверкутник" также использовался для обозначения скошенного четырехугольника. Скошенный четырехугольник вместе со своими диагоналями образует (возможно, не правильный) тетраэдр, и наоборот, любой скошенный четырехугольник можно получить из тетраэдра, удалив пару противоположных ребер.