Гексагон: свойства и характеристики шестиугольника
Hexagon
Гексагон: определение, свойства и характеристики шестиугольника. Узнайте о внутренних углах, правильных гексагонах и их связи с треугольниками. Геометрия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Форма с шестью сторонами, кристаллическая система.
Shape with six sides
the crystal system
В геометрии шестиугольник (от греческого ἕξ, hex, что означает "шесть", и γωνία, gonía, что означает "угол") — это многоугольник с шестью сторонами. Сумма внутренних углов любого простого (не самопересекающегося) шестиугольника составляет 720°.
In geometry, a hexagon (from Greek ἕξ, hex, meaning "six", and γωνία, gonía, meaning "corner, angle") is a six sided polygon. The total of the internal angles of any simple (non self intersecting) hexagon is 720°.
Регулярный шестиугольник
Регулярный шестиугольник имеет символ Шлефли {6} и может также быть построен как усечённый равносторонний треугольник, t{3}, который чередует два типа рёбер. Регулярный шестиугольник определяется как шестиугольник, который является как равносторонним, так и равноугольным. Он бицентричен, то есть одновременно является вписанным в окружность (имеет описанную окружность) и описанным около окружности (имеет вписанную окружность). Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности, который в √3 раза больше апофемы (радиуса вписанной окружности). Все внутренние углы равны 120 градусам. Регулярный шестиугольник обладает шестью вращательными симметриями (вращательная симметрия шестого порядка) и шестью осевыми симметриями (шестью осями симметрии), образующими диэдрическую группу D6. Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, в два раза превышают длину одной стороны. Отсюда следует, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и имеющий общую сторону с шестиугольником является равносторонним, и что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников. Как и квадраты и равносторонние треугольники, правильные шестиугольники плотно прилегают друг к другу, образуя мощение плоскости без зазоров (в каждой вершине сходятся три шестиугольника), и поэтому полезны для построения тесселяций. По этой причине, а также благодаря эффективному использованию пространства и строительных материалов, ячейки пчелиных сот имеют шестиугольную форму. Диаграмма Вороного для регулярной треугольной решётки представляет собой шестиугольное сотовое мощение. Хотя он и равносторонний, обычно его не рассматривают как триамбус.
A regular hexagon has Schläfli symbol {6} and can also be constructed as a truncated equilateral triangle, t{3}, which alternates two types of edges. A regular hexagon is defined as a hexagon that is both equilateral and equiangular. It is bicentric, meaning that it is both cyclic (has a circumscribed circle) and tangential (has an inscribed circle). The common length of the sides equals the radius of the circumscribed circle or circumcircle, which equals times the apothem (radius of the inscribed circle). All internal angles are 120 degrees. A regular hexagon has six rotational symmetries (rotational symmetry of order six) and six reflection symmetries (six lines of symmetry), making up the dihedral group D6. The longest diagonals of a regular hexagon, connecting diametrically opposite vertices, are twice the length of one side. From this it can be seen that a triangle with a vertex at the center of the regular hexagon and sharing one side with the hexagon is equilateral, and that the regular hexagon can be partitioned into six equilateral triangles. Like squares and equilateral triangles, regular hexagons fit together without any gaps to tile the plane (three hexagons meeting at every vertex), and so are useful for constructing tessellations. The cells of a beehive honeycomb are hexagonal for this reason and because the shape makes efficient use of space and building materials. The Voronoi diagram of a regular triangular lattice is the honeycomb tessellation of hexagons. It is not usually considered a triambus, although it is equilateral.
Тесселяции по шестиугольникам
В дополнение к правильному шестиугольнику, определяющему единственную мощение плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея, также может мостить плоскость.
In addition to the regular hexagon, which determines a unique tessellation of the plane, any irregular hexagon which satisfies the Conway criterion will tile the plane.
Шестиугольник, вписанный в коническую сечение
Теорема Паскаля (также известная как "теорема о гексаграмме мистикума") утверждает, что если произвольный шестиугольник вписан в какое-либо коническое сечение, и противоположные стороны попарно продолжены до пересечения, то три точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой "линией Паскаля" для данной конфигурации.
Pascal's theorem (also known as the "Hexagrammum Mysticum Theorem") states that if an arbitrary hexagon is inscribed in any conic section, and pairs of opposite sides are extended until they meet, the three intersection points will lie on a straight line, the "Pascal line" of that configuration.
Циклический шестиугольник
Шестиугольник Лемоана — это циклический шестиугольник (вписанный в окружность) с вершинами, определяемыми шестью точками пересечения сторон треугольника и трех прямых, параллельных этим сторонам и проходящих через его симмедианную точку. Если последовательные стороны циклического шестиугольника равны a, b, c, d, e, f, то три главные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда для каждой стороны циклического шестиугольника при продолжении смежных сторон до их пересечения образуется треугольник, внешний по отношению к данной стороне, и отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, пересекаются в одной точке. Если шестиугольник имеет вершины на описанной окружности остроугольного треугольника в шести точках (включая три вершины треугольника), где продолженные высоты треугольника пересекают эту окружность, то площадь шестиугольника вдвое больше площади треугольника.
The Lemoine hexagon is a cyclic hexagon (one inscribed in a circle) with vertices given by the six intersections of the edges of a triangle and the three lines that are parallel to the edges that pass through its symmedian point. If the successive sides of a cyclic hexagon are a, b, c, d, e, f, then the three main diagonals intersect in a single point if and only if
If, for each side of a cyclic hexagon, the adjacent sides are extended to their intersection, forming a triangle exterior to the given side, then the segments connecting the circumcenters of opposite triangles are concurrent. If a hexagon has vertices on the circumcircle of an acute triangle at the six points (including three triangle vertices) where the extended altitudes of the triangle meet the circumcircle, then the area of the hexagon is twice the area of the triangle.
Равносторонние треугольники по бокам произвольного шестиугольника
Если на каждой стороне произвольного шестиугольника внешним образом построен равносторонний треугольник, то середины отрезков, соединяющих центроиды противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник.
If an equilateral triangle is constructed externally on each side of any hexagon, then the midpoints of the segments connecting the centroids of opposite triangles form another equilateral triangle.