Четырехугольник-воздушный змей (или Дельтоид)

Введение

Четырехугольник, симметричный относительно диагонали

В евклидовой геометрии, воздушный змей – это четырехугольник с осевой симметрией относительно диагонали. Благодаря этой симметрии, у воздушного змея два равных угла и две пары смежных сторон равной длины. Воздушные змеи также известны как дельтоиды, но термин «дельтоид» может также относиться к дельтовидной кривой – несвязанному геометрическому объекту, который иногда изучается в связи с четырехугольниками. Воздушный змей также может называться стрелой, особенно если он невыпуклый. Любой воздушный змей является ортодиагональным четырехугольником (его диагонали перпендикулярны) и, будучи выпуклым, тангенциальным четырехугольником (его стороны касаются вписанной окружности). Выпуклые воздушные змеи – это точно те четырехугольники, которые одновременно являются ортодиагональными и тангенциальными. В качестве частных случаев они включают прямоугольные воздушные змеи с двумя противоположными прямыми углами; ромбы с двумя осями диагональной симметрии; и квадраты, которые также являются частными случаями как прямоугольных воздушных змеев, так и ромбов. Четырехугольник с наибольшим отношением периметра к диаметру – это воздушный змей с углами 60°, 75° и 150°. Воздушные змеи двух форм (одна выпуклая и одна невыпуклая) образуют протоплитки одной из форм мозаики Пенроуза. Воздушные змеи также образуют грани нескольких гранесимметричных многогранников и тесселяций и были изучены в связи с внешней бильярдной задачей – проблемой в передовой математике динамических систем.

Определение и классификация

Воздушный змей – это четырехугольник с осевой симметрией относительно одной из его диагоналей. Эквивалентно, это четырехугольник, четыре стороны которого можно объединить в две пары смежных сторон равной длины. Воздушный змей можно построить из центров и точек пересечения любых двух пересекающихся окружностей. Воздушные змеи, описанные здесь, могут быть как выпуклыми, так и вогнутыми, хотя некоторые источники ограничивают понятие воздушного змея только выпуклыми фигурами. Четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:
Четыре стороны можно разделить на две пары смежных сторон равной длины. Одна диагональ пересекает середину другой диагонали под прямым углом, являясь ее перпендикулярным биссектором. (В вогнутом случае прямая, проходящая через одну из диагоналей, делит другую пополам.) Одна диагональ является линией симметрии. Она делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника, являющихся зеркальным отражением друг друга. Одна диагональ делит пополам оба угла у своих концов. Четырехугольники-воздушные змеи получили свое название от ветровых воздушных змеев, которые часто имеют такую форму, а те, в свою очередь, названы в честь парящей птицы и издаваемого ею звука. По словам Олауса Хенрици, название "воздушный змей" этим фигурам дал Джеймс Джозеф Сильвестр. Четырехугольники можно классифицировать иерархически, то есть некоторые классы четырехугольников включают другие классы, или парциально, то есть каждый четырехугольник принадлежит только одному классу. При иерархической классификации воздушные змеи включают ромбы (четырехугольники с четырьмя равными сторонами) и квадраты. Все равносторонние воздушные змеи являются ромбами, а все равноугольные – квадратами. При парциальной классификации ромбы и квадраты не будут считаться воздушными змеями, поскольку они принадлежат к другому классу четырехугольников; аналогично, прямоугольные воздушные змеи, обсуждаемые ниже, также не будут считаться воздушными змеями. В оставшейся части статьи используется иерархическая классификация; ромбы, квадраты и прямоугольные воздушные змеи рассматриваются как воздушные змеи. Избегая необходимости рассматривать особые случаи, такая классификация может упростить некоторые факты о воздушных змеях. Как и у воздушных змеев, у параллелограмма также есть две пары сторон равной длины, но они расположены напротив друг друга, а не являются смежными. Любой несамопересекающийся четырехугольник, имеющий ось симметрии, должен быть либо воздушным змеем с диагональной осью симметрии, либо равнобедренной трапецией с осью симметрии, проходящей через середины двух сторон. К ним в качестве частных случаев относятся ромб и прямоугольник соответственно, а также квадрат, который является частным случаем обоих. Самопересекающиеся четырехугольники включают другой класс симметричных четырехугольников – антипараллелограммы.

A kite is a quadrilateral with reflection symmetry across one of its diagonals. Equivalently, it is a quadrilateral whose four sides can be grouped into two pairs of adjacent equal length sides. A kite can be constructed from the centers and crossing points of any two intersecting circles. Kites as described here may be either convex or concave, although some sources restrict kite to mean only convex kites. A quadrilateral is a kite if and only if any one of the following conditions is true:
The four sides can be split into two pairs of adjacent equal length sides. One diagonal crosses the midpoint of the other diagonal at a right angle, forming its perpendicular bisector. (In the concave case, the line through one of the diagonals bisects the other.) One diagonal is a line of symmetry. It divides the quadrilateral into two congruent triangles that are mirror images of each other. One diagonal bisects both of the angles at its two ends. Kite quadrilaterals are named for the wind blown, flying kites, which often have this shape and which are in turn named for a hovering bird and the sound it makes. According to Olaus Henrici, the name "kite" was given to these shapes by James Joseph Sylvester. Quadrilaterals can be classified hierarchically, meaning that some classes of quadrilaterals include other classes, or partitionally, meaning that each quadrilateral is in only one class. Classified hierarchically, kites include the rhombi (quadrilaterals with four equal sides) and squares. All equilateral kites are rhombi, and all equiangular kites are squares. When classified partitionally, rhombi and squares would not be kites, because they belong to a different class of quadrilaterals; similarly, the right kites discussed below would not be kites. The remainder of this article follows a hierarchical classification; rhombi, squares, and right kites are all considered kites. By avoiding the need to consider special cases, this classification can simplify some facts about kites. Like kites, a parallelogram also has two pairs of equal length sides, but they are opposite to each other rather than adjacent. Any non self crossing quadrilateral that has an axis of symmetry must be either a kite, with a diagonal axis of symmetry; or an isosceles trapezoid, with an axis of symmetry through the midpoints of two sides. These include as special cases the rhombus and the rectangle respectively, and the square, which is a special case of both. The self crossing quadrilaterals include another class of symmetric quadrilaterals, the antiparallelograms.

Особые случаи

Правые дельтоиды имеют два противоположных прямых угла. Правые дельтоиды – это именно те дельтоиды, которые являются циклическими четырехугольниками, то есть существует окружность, проходящая через все их вершины. Циклические четырехугольники можно также определить как четырехугольники, у которых два противоположных угла в сумме дают 180° (являются дополнительными); если одна пара углов дополнительна, то и другая тоже. Следовательно, правые дельтоиды – это дельтоиды с двумя противоположными дополнительными углами, для любой из двух противоположных пар углов. Поскольку правые дельтоиды описаны вокруг одной окружности и вписаны в другую, они являются бицентрическими четырехугольниками (фактически трицентрическими, так как существует и третья окружность, внешне касающаяся продолжений их сторон). Если размеры вписанной и описанной окружностей фиксированы, то правый дельтоид имеет наибольшую площадь среди всех четырехугольников, заключенных между ними. Среди всех четырехугольников наибольшее отношение периметра к диаметру (максимальному расстоянию между двумя точками) имеет равнодиагональный дельтоид с углами 60°, 75°, 150°, 75°. Его четыре вершины лежат в трех вершинах и одной из середин сторон треугольника Рейо. Если у равнодиагонального дельтоида длины сторон меньше или равны его диагоналям, как в данном случае или у квадрата, он является одним из четырехугольников с наибольшим отношением площади к диаметру. Дельтоид с тремя углами по 108° и одним углом 36° образует выпуклую оболочку лютни Пифагора – фрактала, состоящего из вложенных пентаграмм. Четыре стороны этого дельтоида лежат на четырех сторонах правильного пятиугольника, а к пятой стороне пристроен золотой треугольник. Существует всего восемь многоугольников, которые могут покрыть плоскость таким образом, что отражение любой плитки относительно любой из ее сторон дает другую плитку; такая компоновка называется краевой мощением. Один из них – мощение правым дельтоидом с углами 60°, 90° и 120°. Оно образует дельтоидальное тригексагональное мощение (см.). Протоплитка, состоящая из восьми таких дельтоидов, покрывает плоскость только апериодически, что является ключом к предполагаемому решению проблемы Эйнштейна. В неевклидовой геометрии дельтоид может иметь три прямых угла и один непрямой угол, образуя частный случай четырехугольника Ламберта. Четвертый угол острый в гиперболической геометрии и тупой в сферической геометрии.

The right kites have two opposite right angles. The right kites are exactly the kites that are cyclic quadrilaterals, meaning that there is a circle that passes through all their vertices. The cyclic quadrilaterals may equivalently defined as the quadrilaterals in which two opposite angles are supplementary (they add to 180°); if one pair is supplementary the other is as well. Therefore, the right kites are the kites with two opposite supplementary angles, for either of the two opposite pairs of angles. Because right kites circumscribe one circle and are inscribed in another circle, they are bicentric quadrilaterals (actually tricentric, as they also have a third circle externally tangent to the extensions of their sides). If the sizes of an inscribed and a circumscribed circle are fixed, the right kite has the largest area of any quadrilateral trapped between them. Among all quadrilaterals, the shape that has the greatest ratio of its perimeter to its diameter (maximum distance between any two points) is an equidiagonal kite with angles 60°, 75°, 150°, 75°. Its four vertices lie at the three corners and one of the side midpoints of the Reuleaux triangle. When an equidiagonal kite has side lengths less than or equal to its diagonals, like this one or the square, it is one of the quadrilaterals with the greatest ratio of area to diameter. A kite with three 108° angles and one 36° angle forms the convex hull of the lute of Pythagoras, a fractal made of nested pentagrams. The four sides of this kite lie on four of the sides of a regular pentagon, with a golden triangle glued onto the fifth side. There are only eight polygons that can tile the plane such that reflecting any tile across any one of its edges produces another tile; this arrangement is called an edge tessellation. One of them is a tiling by a right kite, with 60°, 90°, and 120° angles. It produces the deltoidal trihexagonal tiling (see ). A prototile made by eight of these kites tiles the plane only aperiodically, key to a claimed solution of the einstein problem. In non Euclidean geometry, a kite can have three right angles and one non right angle, forming a special case of a Lambert quadrilateral. The fourth angle is acute in hyperbolic geometry and obtuse in spherical geometry.

Дисекция

Проблема эквидисекции связана с разбиением многоугольников на треугольники, все из которых имеют одинаковую площадь. В этом контексте спектр многоугольника — это множество чисел *n*, таких что многоугольник можно разбить на *n* треугольников равной площади. Благодаря своей симметрии, спектр воздушного змея содержит все четные целые числа. Некоторые особые воздушные змеи также содержат в своем спектре некоторые нечетные числа. Любой треугольник можно разбить на три прямоугольных воздушных змея, сходящихся в центре его вписанной окружности. В более общем случае, метод, основанный на упаковке окружностей, можно использовать для разбиения любого многоугольника с *n* сторонами на воздушных змеи, соединенных сторонами.

Плитки и полиэдры

Все воздушные змеи покрывают плоскость повторным точечным отражением относительно середин своих сторон, как и в более общем случае все четырехугольники. Воздушные змеи и дротики с углами 72°, 72°, 72°, 144° и 36°, 72°, 36°, 216° соответственно образуют прототилы одной из версий укладки Пенроуза, апериодической укладки плоскости, открытой математическим физиком Роджером Пенроузом. Если у воздушного змея сумма углов на вершине и одной из сторон равна для некоторого положительного целого числа , то масштабированные копии этого воздушного змея можно использовать для покрытия плоскости фрактальной розеткой, в которой последовательно большие кольца воздушных змеев окружают центральную точку. Эти розетки можно использовать для изучения явления неэластичного схлопывания, при котором система движущихся частиц, сталкивающихся неупруго, сливается в одной точке. Воздушный змей с углами 60°, 90°, 120°, 90° также может покрывать плоскость повторным отражением относительно своих сторон; полученная мозаика, дельтоидальная тригексагональная укладка, совмещает мозаику плоскости правильными шестиугольниками и равнобедренными треугольниками. Дельтоидальный икоситетраэдр, дельтоидальный гексаконтаэдр и трапецоэдр — это многогранники с конгруэнтными гранями в форме воздушного змея, которые также можно рассматривать как мозаики сферы конгруэнтными сферическими воздушными змеями. Существует бесконечно много симметричных относительно граней мозаик гиперболической плоскости воздушными змеями. Эти многогранники (эквивалентно, сферические мозаики), квадратная и дельтоидальная тригексагональная укладки евклидовой плоскости и некоторые мозаики гиперболической плоскости представлены в таблице ниже, обозначенные конфигурацией граней (числом соседей каждой из четырех вершин каждой грани). Некоторые многогранники и мозаики появляются дважды, под двумя различными конфигурациями граней. МногогранникиЕвклидовыV4.3.4.3V4.3.4.4V4.3.4.5V4.3.4.6МногогранникиЕвклидовыГиперболические мозаикиV4.4.4.3V4.4.4.4V4.4.4.5V4.4.4.6МногогранникиГиперболические мозаикиV4.3.4.5V4.4.4.5V4.5.4.5ЕвклидовыГиперболические мозаикиV4.3.4.6V4.4.4.6V4.5.4.6V4.6.4.6Трапецоэдры — это другое семейство многогранников, имеющих конгруэнтные грани в форме воздушного змея. В этих многогранниках ребра одной из двух сторон воздушного змея сходятся в двух "полюсных" вершинах, а ребра другой стороны образуют экваториальный зигзагообразный путь вокруг многогранника. Они являются двойственными многогранниками однородных антипризм. Распространенным примером является пятиугольный трапецоэдр, используемый для десятигранных костей. Семейство n-угольных трапецоэдровНазваниеДигональный трапецоэдр (Тетраэдр)ТригональныйТетрагональныйПентагональныйГексагональныйГептагональныйОктагональныйАпирогональныйМногогранникМозаикаКонфигурация граниV2.3.3.3V3.3.3.3V4.3.3.3V5.3.3.3V6.3.3.3V7.3.3.3V8.3.3.3V∞.3.3.3

All kites tile the plane by repeated point reflection around the midpoints of their edges, as do more generally all quadrilaterals. Kites and darts with angles 72°, 72°, 72°, 144° and 36°, 72°, 36°, 216°, respectively, form the prototiles of one version of the Penrose tiling, an aperiodic tiling of the plane discovered by mathematical physicist Roger Penrose. When a kite has angles that, at its apex and one side, sum to for some positive integer , then scaled copies of that kite can be used to tile the plane in a fractal rosette in which successively larger rings of kites surround a central point. These rosettes can be used to study the phenomenon of inelastic collapse, in which a system of moving particles meeting in inelastic collisions all coalesce at a common point. A kite with angles 60°, 90°, 120°, 90° can also tile the plane by repeated reflection across its edges; the resulting tessellation, the deltoidal trihexagonal tiling, superposes a tessellation of the plane by regular hexagons and isosceles triangles. The deltoidal icositetrahedron, deltoidal hexecontahedron, and trapezohedron are polyhedra with congruent kite shaped faces, which can alternatively be thought of as tilings of the sphere by congruent spherical kites. There are infinitely many face symmetric tilings of the hyperbolic plane by kites. These polyhedra (equivalently, spherical tilings), the square and deltoidal trihexagonal tilings of the Euclidean plane, and some tilings of the hyperbolic plane are shown in the table below, labeled by face configuration (the numbers of neighbors of each of the four vertices of each tile). Some polyhedra and tilings appear twice, under two different face configurations. PolyhedraEuclideanV4.3.4.3V4.3.4.4V4.3.4.5V4.3.4.6PolyhedraEuclideanHyperbolic tilingsV4.4.4.3V4.4.4.4V4.4.4.5 V4.4.4.6PolyhedraHyperbolic tilingsV4.3.4.5V4.4.4.5 V4.5.4.5 V4.6.4.5 EuclideanHyperbolic tilingsV4.3.4.6V4.4.4.6V4.5.4.6V4.6.4.6

The trapezohedra are another family of polyhedra that have congruent kite shaped faces. In these polyhedra, the edges of one of the two side lengths of the kite meet at two "pole" vertices, while the edges of the other length form an equatorial zigzag path around the polyhedron. They are the dual polyhedra of the uniform antiprisms. A commonly seen example is the pentagonal trapezohedron, used for ten sided dice. Family of n gonal trapezohedraNameDigonal trapezohedron(Tetrahedron)TrigonalTetragonalPentagonalHexagonalHeptagonalOctagonal ApeirogonalPolyhedron Tessellation Face configurationV2.3.3.3V3.3.3.3V4.3.3.3V5.3.3.3V6.3.3.3V7.3.3.3V8.3.3.3 V∞.3.3.3

Бильярдный зал

Математик Ричард Шварц изучал внешний бильярд на воздушных змеях. Внешний бильярд – это динамическая система, в которой из точки вне заданного компактного выпуклого множества на плоскости проводят касательную к этому множеству, затем движутся из начальной точки вдоль этой касательной в другую точку, находящуюся на том же расстоянии от точки касания, и повторяют этот процесс. С 1950-х годов оставалось открытым, может ли такая система создавать траектории, произвольно удаляющиеся от начальной точки, и в статье 2007 года Шварц решил эту проблему, найдя неограниченные траектории бильярда для воздушного змея с углами 72°, 72°, 72°, 144°, такими же, как в мозаиках Пенроуза. Позже он написал монографию, анализирующую внешний бильярд для воздушных змеев в более общем виде. Для этой задачи любое аффинное преобразование воздушного змея сохраняет динамические свойства внешнего бильярда на нём, и любой воздушный змей можно преобразовать в форму, где три вершины находятся в точках (0,0), (1,0) и (0,1), а четвёртая – в точке (t,t) при t, принадлежащем открытому интервалу (0,1). Поведение внешнего бильярда на любом воздушном змее сильно зависит от параметра t, и в частности, от того, является ли он рациональным числом. В случае змея Пенроуза, t = φ, иррациональное число, где φ – золотое сечение.