Введение

Четырехугольник с четырьмя прямыми углами

В евклидовой геометрии прямоугольник — это четырехугольник с четырьмя прямыми углами. Его также можно определить как: равноугольный четырехугольник, поскольку равноугольный означает, что все его углы равны (360°/4 = 90°); или параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины — это квадрат. Термин "вытянутый прямоугольник" используется для обозначения прямоугольника, не являющегося квадратом. Прямоугольник с вершинами ABCD обозначается как… Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus, которое является комбинацией rectus (в качестве прилагательного, прямой, правильный) и angulus (угол). Перекрестный прямоугольник — это перекрещенный (самопересекающийся) четырехугольник, состоящий из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями (следовательно, параллельны только две стороны). Это частный случай антипараллелограмма, и его углы не являются прямыми и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая, эллиптическая и гиперболическая, имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами, равными по длине, и равными углами, которые не являются прямыми. Прямоугольники участвуют во многих задачах о мощении, таких как мощение плоскости прямоугольниками или мощение прямоугольника многоугольниками.

Альтернативная иерархия

Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем виде как любой четырехугольник с осями симметрии, проходящими через каждую пару противоположных сторон. Это определение включает в себя как прямоугольные, так и перекрестные прямоугольники. Каждый из них имеет ось симметрии, параллельную паре противоположных сторон и равноудаленную от них, а также другую ось, являющуюся перпендикулярным бисектором этих сторон, но в случае перекрестного прямоугольника первая ось не является осью симметрии ни для одной из сторон, которую она делит пополам. Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, принадлежат к более широкому классу четырехугольников, имеющих по крайней мере одну ось симметрии, проходящую через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники включают в себя равнобедренные трапеции и перекрестные равнобедренные трапеции (перекрестные четырехугольники с таким же расположением вершин, как у равнобедренных трапеций).

Симметрия

Прямоугольник является циклической фигурой: все его вершины лежат на одной окружности. Он равноугольный: все его углы равны (каждый по 90 градусов). Он изогонален или транзитивен относительно вершин: все его вершины находятся в одной и той же орбите симметрии. Он обладает двумя осями зеркальной симметрии и вращательной симметрией второго порядка (на 180°).

Двойственность прямоугольника и ромба

Двойной многоугольник прямоугольника — ромб, как показано в таблице ниже. Прямоугольник Ромб Все углы равны. Все стороны равны. Противоположные стороны равны. Противоположные углы равны. Его центр равноудален от вершин, поэтому вокруг него можно описать окружность. Его центр равноудален от сторон, поэтому в него можно вписать окружность. Две оси симметрии делят пополам противоположные стороны. Две оси симметрии делят пополам противоположные углы. Диагонали равны по длине. Диагонали пересекаются под одинаковыми углами. Фигура, образованная последовательным соединением середин сторон прямоугольника, является ромбом, и наоборот.

Разное

Прямоугольник — это прямолинейный многоугольник, у которого стороны пересекаются под прямым углом. Прямоугольник на плоскости можно определить пятью независимыми степенями свободы, включающими, например, три степени свободы для положения (две для перемещения и одну для вращения), одну для формы (отношение сторон) и одну для общего размера (площади). Два прямоугольника, ни один из которых не может быть помещен внутрь другого, называются несравнимыми.

Другие прямоугольники

В сферической геометрии сферический прямоугольник — это фигура, четырьмя сторонами которой являются дуги больших кругов, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90°. Противолежащие стороны равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой стереометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии. В эллиптической геометрии эллиптический прямоугольник — это фигура в эллиптической плоскости, четырьмя сторонами которой являются эллиптические дуги, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90°. Противолежащие стороны равны по длине. В гиперболической геометрии гиперболический прямоугольник — это фигура в гиперболической плоскости, четырьмя сторонами которой являются гиперболические дуги, пересекающиеся под равными углами, меньшими 90°. Противолежащие стороны равны по длине.

Квадратные, идеальные и другие прямоугольники с плитками

Прямоугольник, разбитый на квадраты, прямоугольники или треугольники, называется соответственно "квадратным", "прямоугольным" или "треугольным" (или "треугольниковым") прямоугольником. Разбиение прямоугольника считается совершенным, если плитки подобны, их конечное число и нет двух плиток одинакового размера. Если две плитки одинакового размера, разбиение считается несовершенным. В совершенном (или несовершенном) треугольниковом прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными. Базу данных всех известных совершенных прямоугольников, совершенных квадратов и связанных с ними фигур можно найти на squaring.net. Минимальное количество квадратов, необходимое для совершенного разбиения прямоугольника, равно 9, а минимальное количество, необходимое для совершенного разбиения квадрата, равно 21, что было найдено в 1978 году с помощью компьютерного поиска. Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно разбить на конечное число неравных квадратов. То же справедливо, если плитки – неравные равнобедренные прямоугольные треугольники. Наибольший интерес представляют разбиения прямоугольников другими плитками, представляющими собой конгруэнтные непрямоугольные полиомино, допускающие все вращения и отражения. Существуют также разбиения с помощью конгруэнтных полиаболо.