Простые группы: определение, классификация и примеры.

Введение

Группа без нормальных подгрупп, кроме тривиальной группы и самой себя.

В математике простая группа — это нетривиальная группа, единственными нормальными подгруппами которой являются тривиальная группа и сама группа. Группу, которая не является простой, можно разложить на две меньшие группы, а именно на нетривиальную нормальную подгруппу и соответствующую фактор-группу. Этот процесс можно повторять, и для конечных групп в конечном итоге приходят к однозначно определенным простым группам, согласно теореме Джордана — Гёльдера. Полная классификация конечных простых групп, завершенная в 2004 году, является важнейшей вехой в истории математики.

Конечные простые группы

Циклическая группа классов вычетов по модулю 3 (см. модульную арифметику) проста. Если H является подгруппой этой группы, её порядок (число элементов) должен быть делителем порядка группы, который равен 3. Поскольку 3 – простое число, его единственными делителями являются 1 и 3, следовательно, либо H – сама группа, либо H – тривиальная группа. С другой стороны, группа Z₄ не проста. Множество классов вычетов 0, 4 и 8 по модулю 12 является подгруппой порядка 3, и это нормальная подгруппа, поскольку любая подгруппа абелевой группы нормальна. Аналогично, аддитивная группа целых чисел Z не проста; множество чётных целых чисел является нетривиальной собственной нормальной подгруппой. Можно использовать аналогичные рассуждения для любой абелевой группы, чтобы заключить, что единственными простыми абелевыми группами являются циклические группы простого порядка. Классификация неабелевых простых групп гораздо сложнее. Наименьшая неабелева простая группа – это чередующаяся группа A₅ порядка 60, и каждая простая группа порядка 60 изоморфна A₅. Вторая по величине неабелева простая группа – это проективная специальная линейная группа PSL(2,7) порядка 168, и каждая простая группа порядка 168 изоморфна PSL(2,7).

Бесконечные простые группы

Бесконечная чередующаяся группа, то есть группа четных конечно поддерживаемых перестановок целых чисел, проста. Эту группу можно представить как возрастающий союз конечных простых групп относительно стандартных вложений. Другой пример бесконечных простых групп задается , где – бесконечное поле, и гораздо сложнее построить конечно порожденные бесконечные простые группы. Первый результат о существовании не является явным; он принадлежит Грэму Хигману и состоит из простых факторгрупп группы Хигмана. Явные примеры, которые оказываются конечно представимыми, включают бесконечные группы Томпсона и бесконечные простые группы без кручения, конечно представимые, построенные Бергером и Мозесом.

Классификация

Пока не существует известной классификации общих (бесконечных) простых групп, и не ожидается, что такая классификация будет создана. Одна из причин этого – существование континуального множества групп монстров Тарски для каждой достаточно большой простой характеристики, каждая из которых проста и имеет в качестве подгрупп только циклическую группу той же характеристики.

Структура конечных простых групп

Известная теорема Фейта и Томпсона утверждает, что любая группа нечётного порядка является разрешимой. Следовательно, каждая конечная простая группа имеет чётный порядок, если она не циклическая порядка простого числа. Гипотеза Шрайера утверждает, что группа внешних автоморфизмов каждой конечной простой группы разрешима. Это можно доказать, используя теорему о классификации.

История конечных простых групп

В истории конечных простых групп можно выделить два направления: открытие и построение конкретных простых групп и семейств, начиная с работ Галуа в 1820-х годах и заканчивая построением Монстра в 1981 году; и доказательство полноты этого списка, начатое в XIX веке, наиболее важные этапы которого пришлись на период с 1955 по 1983 год (когда была первоначально объявлена победа), но окончательно завершенное лишь в 2004 году. К 2018 году планировалось опубликовать результаты в виде серии из 12 монографий, десятая из которых вышла в 2023 году. Подробности об истории простых групп XIX века можно найти в [укажите источник].

Строительство

Простые группы изучались по крайней мере с начала теории Галуа, где Эварист Галуа понял, что тот факт, что чередующиеся группы на пяти или более точках просты (и, следовательно, не разрешимы), что он доказал в 1831 году, был причиной невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах. Галуа также построил проективную специальную линейную группу плоскости над конечным полем, PSL(2,p), и отметил, что они просты для p, отличных от 2 или 3. Это содержится в его последнем письме Шевалье и является следующим примером конечных простых групп. Следующие открытия были сделаны Камилем Жорданом в 1870 году. Жордан обнаружил 4 семейства простых матричных групп над конечными полями простого порядка, которые теперь известны как классические группы. Примерно в то же время было показано, что семейство из пяти групп, называемое группами Матье и впервые описанное Эмилем Леонаром Матье в 1861 и 1873 годах, также является простым. Поскольку эти пять групп были построены методами, не дающими бесконечного числа возможностей, Уильям Бернсайд в своем учебнике 1897 года назвал их «спорадическими». Позже результаты Жордана по классическим группам были обобщены Леонардом Диксоном на произвольные конечные поля, после классификации комплексных простых алгебр Ли Вильгельмом Киллингом. Диксон также построил группы исключений типа G2 и E6, но не типов F4, E7 или E8. В 1950-х годах работа над группами типа Ли была продолжена, и Клод Шевалье в статье 1955 года дал единообразную конструкцию классических групп и групп исключительного типа. Эта конструкция не включала некоторые известные группы (проективные унитарные группы), которые были получены путем «сдвига» конструкции Шевали. Остальные группы типа Ли были получены Штейнбергом, Титсом и Герцигом (которые построили 3D4(q) и 2E6(q)), а также Судзуки и Ри (группы Судзуки — Ри). Эти группы (группы типа Ли, вместе с циклическими группами, чередующимися группами и пятью исключительными группами Матье) считались полным списком, но после почти столетнего перерыва в исследованиях, начатых Матье, в 1964 году была открыта первая группа Янко, а остальные 20 спорадических групп были открыты или предположены в 1965–1975 годах, кульминацией чего стало 1981 год, когда Роберт Грисс объявил о построении «монстровой группы» Бернда Фишера. Монстр — самая большая спорадическая простая группа, имеющая порядок 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Монстр имеет верное 196 883-мерное представление в 196 884-мерной алгебре Грисса, что означает, что каждый элемент монстра может быть выражен в виде матрицы 196 883 × 196 883.

Simple groups have been studied at least since early Galois theory, where Évariste Galois realized that the fact that the alternating groups on five or more points are simple (and hence not solvable), which he proved in 1831, was the reason that one could not solve the quintic in radicals. Galois also constructed the projective special linear group of a plane over a prime finite field, PSL(2,p), and remarked that they were simple for p not 2 or 3. This is contained in his last letter to Chevalier, and are the next example of finite simple groups. The next discoveries were by Camille Jordan in 1870. Jordan had found 4 families of simple matrix groups over finite fields of prime order, which are now known as the classical groups. At about the same time, it was shown that a family of five groups, called the Mathieu groups and first described by Émile Léonard Mathieu in 1861 and 1873, were also simple. Since these five groups were constructed by methods which did not yield infinitely many possibilities, they were called "sporadic" by William Burnside in his 1897 textbook. Later Jordan's results on classical groups were generalized to arbitrary finite fields by Leonard Dickson, following the classification of complex simple Lie algebras by Wilhelm Killing. Dickson also constructed exception groups of type G2 and E6 as well, but not of types F4, E7, or E8 In the 1950s the work on groups of Lie type was continued, with Claude Chevalley giving a uniform construction of the classical groups and the groups of exceptional type in a 1955 paper. This omitted certain known groups (the projective unitary groups), which were obtained by "twisting" the Chevalley construction. The remaining groups of Lie type were produced by Steinberg, Tits, and Herzig (who produced 3D4(q) and 2E6(q)) and by Suzuki and Ree (the Suzuki–Ree groups). These groups (the groups of Lie type, together with the cyclic groups, alternating groups, and the five exceptional Mathieu groups) were believed to be a complete list, but after a lull of almost a century since the work of Mathieu, in 1964 the first Janko group was discovered, and the remaining 20 sporadic groups were discovered or conjectured in 1965–1975, culminating in 1981, when Robert Griess announced that he had constructed Bernd Fischer's "Monster group". The Monster is the largest sporadic simple group having order of 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. The Monster has a faithful 196,883 dimensional representation in the 196,884 dimensional Griess algebra, meaning that each element of the Monster can be expressed as a 196,883 by 196,883 matrix.

Классификация

Полная классификация общепринято считается начатой с теоремы Фейта — Томпсона 1962–63 годов, в основном продолжавшейся до 1983 года, но завершенной лишь в 2004 году. Вскоре после построения Монстра в 1981 году было представлено доказательство объемом более 10 000 страниц, подтверждающее, что теоретики групп успешно перечислили все конечные простые группы, а в 1983 году Дэниел Горенштейн объявил о победе. Однако это было преждевременно — позже были обнаружены некоторые неточности, в частности, в классификации квазитонких групп, которые в конечном итоге были устранены в 2004 году новой классификацией квазитонких групп объемом 1300 страниц, которая теперь общепризнана как завершенная.

Испытания на непростость

Тест Силоу: Пусть n – положительное целое число, не являющееся простым, и пусть p – простой делитель n. Если 1 – единственный делитель n, сравнимый с 1 по модулю p, то простой группы порядка n не существует.

Доказательство: Если n – степень простого числа, то группа порядка n имеет нетривиальный центр и, следовательно, не является простой. Если n не является степенью простого числа, то каждая силовская подгруппа является собственной, и, согласно Третьей теореме Силоу, мы знаем, что число силовских p-подгрупп группы порядка n сравнимо с 1 по модулю p и делит n. Поскольку 1 – единственное такое число, силовская p-подгруппа единственна и, следовательно, нормальна. Поскольку это собственная, нетождественная подгруппа, группа не является простой. Бернсайд: Неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся по крайней мере на три различных простых числа. Это следует из теоремы Бернсайда.

Учебники

Препринт 2007 года.