Введение

Теорема, связывающая группу с образом и ядром гомоморфизма. В абстрактной алгебре фундаментальная теорема о гомоморфизмах, также известная как фундаментальная теорема гомоморфизма или первая теорема об изоморфизмах, устанавливает связь между структурой двух объектов, для которых задан гомоморфизм, и ядром и образом этого гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах используется для доказательства теорем об изоморфизмах.

Доказательство

Доказательство следует из двух основных фактов о гомоморфизмах, а именно сохранения ими групповой операции и отображения элемента идентичности на элемент идентичности. Нам нужно показать, что если φ — гомоморфизм групп, то: ker(φ) является подгруппой группы H и изоморфна im(φ).

Доказательство 1

Операция, которая сохраняется, — это групповая операция. Если a, b ∈ im(φ), то существуют элементы a', b' такие, что a = φ(a') и b = φ(b'). Для этих a и b имеем a * b = φ(a') * φ(b') = φ(a' * b') = φ(a''') = c, где c ∈ im(φ) (поскольку φ сохраняет групповую операцию), и, таким образом, свойство замкнутости выполняется в im(φ). Нейтральный элемент также принадлежит im(φ), поскольку φ отображает нейтральный элемент группы H в него. Поскольку каждый элемент a ∈ im(φ) имеет обратный элемент a⁻¹ такой, что a * a⁻¹ = e (поскольку φ сохраняет свойство обратимости), то для каждого элемента a ∈ im(φ) существует обратный элемент, следовательно, im(φ) является подгруппой H.

Приложения

Теоретико-групповая версия теоремы о фундаментальном гомоморфизме может быть использована для доказательства изоморфности двух выбранных групп. Ниже приведены два примера.

Целые числа модуль n

Для каждого 1= n \in \mathbb{N}, рассмотрим группы и и групповой гомоморфизм, определенный (см. модульную арифметику). Далее рассмотрим ядро 1= f, 1= \text{ker} (f) = n \mathbb{Z}, которое является нормальной подгруппой в 1= \mathbb{Z}. Существует естественный сюръективный гомоморфизм, определенный 1= m \mapsto m + n\mathbb{Z}. Теорема утверждает, что существует изоморфизм между и 1= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, или другими словами 1= \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}. Коммутативная диаграмма иллюстрирована ниже.

Теорема Н/С

Пусть G — группа с подгруппой H. Пусть C_G(H), N_G(H) и Aut(H) — централизатор, нормализатор и группа автоморфизмов H в G, соответственно. Тогда теорема N/C утверждает, что N_G(H)/C_G(H) изоморфна подгруппе Aut(H).

Доказательство

Мы можем найти групповой гомоморфизм, заданный как 1= g \mapsto ghg^{-1}, для всех 1= h \in H. Очевидно, ядро этого гомоморфизма равно 1= C_G(H). Следовательно, у нас есть естественный сюръективный гомоморфизм, заданный как 1= g \mapsto gC(H). Основная теорема гомоморфизма тогда утверждает, что существует изоморфизм между и 1= \varphi(N_G(H)), который является подгруппой 1= \text{Aut}(H).

Другие версии

Подобные теоремы справедливы для моноидов, векторных пространств, модулей и колец.