Введение

Коммутативная группа (математика) — группа, описываемая устаревшим термином "абелева линейная группа".

В математике абелева группа, также называемая коммутативной группой, — это группа, в которой результат применения групповой операции к двум элементам не зависит от порядка, в котором эти элементы рассматриваются. Иными словами, групповая операция коммутативна. При сложении целые и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала XIX века Нильса Хенрика Абеля. Понятие абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур, таких как поля, кольца, векторные пространства и алгебры. Теория абелевых групп, как правило, проще, чем теория некоммутативных групп, а конечные абелевы группы хорошо изучены и полностью классифицированы.

Определение

Абелева группа – это множество, вместе с операцией, которая объединяет любые два элемента *a* и *b* из этого множества в другой элемент, обозначаемый как *a* * b*. Символ * обозначает общее место для конкретно заданной операции. Чтобы считаться абелевой группой, множество и операция, , должны удовлетворять четырем требованиям, известным как аксиомы абелевой группы (некоторые авторы включают в аксиомы свойства, относящиеся к определению операции: а именно, что операция определена для любой упорядоченной пары элементов *A*, что результат однозначно определён, и что результат принадлежит *A*):

Ассоциативность: Для всех *a*, *b*, и *c* из множества, выполняется равенство (*a* * b*) * c* = *a* * (*b* * c*).

Единичный элемент: Существует элемент *e* в множестве, такой что для всех элементов *a* из множества, выполняется равенство *a* * e* = *e* * a* = *a*.

Обратный элемент: Для каждого элемента *a* в множестве существует элемент *a⁻¹* в множестве, такой что *a* * a⁻¹* = *a⁻¹* * a* = *e*, где *e* – единичный элемент.

Коммутативность: Для всех *a*, *b* из множества, выполняется равенство *a* * b* = *b* * a*.

Группа, в которой групповая операция не является коммутативной, называется "неабелевой группой" или "некоммутативной группой".

Таблица умножения

Чтобы проверить, что конечная группа является абелевой, можно построить таблицу (матрицу), известную как таблица Кейли, аналогично таблице умножения. Если группа задана операцией , то -й элемент этой таблицы содержит произведение . Группа является абелевой тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа является абелевой тогда и только тогда, когда для всех , что эквивалентно тому, что -й элемент таблицы равен -му элементу для всех, то есть таблица симметрична относительно главной диагонали.

Примеры

Для целых чисел и операции сложения, обозначаемой как +, операция + объединяет любые два целых числа, чтобы сформировать третье целое число, сложение ассоциативно, ноль является аддитивным нейтральным элементом, каждое целое число имеет аддитивную обратную, а операция сложения коммутативна, поскольку для любых двух целых чисел и . Каждая циклическая группа является абелевой, потому что если , находятся в , то таким образом целые числа, , образуют абелеву группу по сложению, как и целые числа по модулю . Каждое кольцо является абелевой группой относительно своей операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы, или единицы, образуют абелеву мультипликативную группу. В частности, действительные числа являются абелевой группой по сложению, а ненулевые действительные числа – абелевой группой по умножению. Каждая подгруппа абелевой группы нормальна, поэтому каждая подгруппа порождает фактор-группу. Подгруппы, фактор-группы и прямые суммы абелевых групп снова являются абелевыми. Конечные простые абелевы группы – это точно циклические группы простого порядка. Понятия абелевой группы и модуля совпадают. Более конкретно, каждый модуль является абелевой группой с операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел единственным образом. В общем случае, матрицы, даже обратимые матрицы, не образуют абелеву группу при умножении, поскольку умножение матриц обычно некоммутативно. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при умножении матриц – одним из примеров является группа матриц вращения.

Исторические замечания

Камиль Жордан назвал абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, так как Абель показал, что коммутативность группы многочлена влечёт за собой возможность вычисления корней этого многочлена с помощью радикалов.

Свойства

Если является натуральным числом, а является элементом абелевой группы, записанной аддитивно, то можно определить как (слагаемых), и таким образом, становится модулем над кольцом целых чисел. Фактически, модули над можно отождествить с абелевыми группами. Теоремы об абелевых группах (то есть модулях над областью главных идеалов) часто можно обобщить до теорем о модулях над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп, которая является частным случаем теоремы о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов. В случае конечно порожденных абелевых групп, эта теорема гарантирует, что абелева группа распадается в прямую сумму торсионной группы и свободной абелевой группы. Первая может быть записана как прямая сумма конечного числа групп вида для простого числа , а вторая – как прямая сумма конечного числа копий . Если и – два гомоморфизма групп между абелевыми группами, то их сумма , определяемая как , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если – неабелева группа.) Множество всех гомоморфизмов групп из в , таким образом, само является абелевой группой. По аналогии с размерностью векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как максимальная кардинальность множества линейно независимых (над целыми числами) элементов группы. Конечные абелевы группы и торсионные группы имеют ранг ноль, и каждая абелева группа ранга ноль является торсионной группой. Целые числа и рациональные числа имеют ранг один, как и каждая ненулевая аддитивная подгруппа рациональных чисел. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, поскольку это свободная абелева группа, в которой множество простых чисел является базисом (это следует из основной теоремы арифметики). Центр группы – это множество элементов, коммутирующих с каждым элементом группы . Группа является абелевой тогда и только тогда, когда она равна своему центру. Центр группы всегда является характеристической абелевой подгруппой. Если факторгруппа группы по ее центру циклична, то группа является абелевой.

Конечные абелевы группы

Циклические группы целых чисел по модулю , , были одними из первых примеров групп. Оказывается, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп порядка простых степеней, и эти порядки однозначно определены, образуя полную систему инвариантов. Автоморфная группа конечной абелевой группы может быть описана непосредственно в терминах этих инвариантов. Теория была впервые разработана в статье Георга Фробениуса и Людвига Стикельбергера в 1879 году, а позже была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, формируя важную главу линейной алгебры. Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также абелева. Фактически, для каждого простого числа существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка , а именно и .

Бесконечные абелевы группы

Самая простая бесконечная абелева группа — бесконечная циклическая группа. Любая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямой сумме копий $\mathbb{Z}$ и конечной абелевой группы, которая, в свою очередь, разложима в прямую сумму конечно многих циклических групп простых степеней. Хотя разложение не единственно, число $r$, называемое рангом $G$, и простые степени, определяющие порядки конечных циклических слагаемых, определены однозначно. Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы, то есть абелевы группы $G$, в которых уравнение $nx = y$ имеет решение $x$ для любого натурального числа $n$ и элемента $y$ из $G$, составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые могут быть полностью охарактеризованы. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумме, слагаемые которой изоморфны $\mathbb{Q}$ и группам Пруфера $Z(p^\infty)$ для различных простых чисел $p$, и кардинальность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно. Более того, если делимая группа $H$ является подгруппой абелевой группы $G$, то существует прямое дополнение: подгруппа $K$ группы $G$ такая, что $G = H \oplus K$. Таким образом, делимые группы являются инъективными модулями в категории абелевых групп, и наоборот, каждая инъективная абелева группа делима (критерий Баэра). Абелева группа, не имеющая ненулевых делимых подгрупп, называется редуцированной. Два важных специальных класса бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположными свойствами — это торсионные группы и группы, свободные от торсии, примерами которых служат группы $\mathbb{Z}_n$ (периодические) и $\mathbb{Q}$ (свободные от торсии).

Торсионные группы

Абелева группа называется периодической или торсионной, если каждый её элемент имеет конечный порядок. Прямая сумма конечных циклических групп является периодической. Хотя обратное утверждение неверно в общем случае, некоторые частные случаи известны. Первая и вторая теоремы Пруфера утверждают, что если группа G является периодической, и она либо имеет ограниченный показатель, то есть p^n(G) конечно для некоторого натурального числа n, либо счетна и высоты элементов G конечны для каждого i, то G изоморфна прямой сумме конечных циклических групп. Кардинальность множества прямых слагаемых, изоморфных Z(i) в таком разложении, является инвариантом. Эти теоремы позднее вошли в критерий Куликова. В другом направлении, Гельмут Ульм нашёл обобщение второй теоремы Пруфера на счетные абелевы группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются посредством своих инвариантов Ульма.

Инварианты и классификация

Одним из самых основных инвариантов бесконечной абелевой группы является её ранг: кардинальность максимального линейно независимого подмножества. Абелевы группы ранга 0 – это как раз периодические группы, а абелевы группы ранга 1, свободные от кручения, обязательно являются подгруппами и могут быть полностью описаны. В более общем случае, абелева группа конечного ранга, свободная от кручения, является подгруппой . С другой стороны, группа p-адических целых чисел является абелевой группой бесконечного ранга, свободной от кручения, и группы с различными p неизоморфны, поэтому этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых известных групп. Теоремы классификации конечно порожденных, делимых, счетных периодических и абелевых групп ранга 1, свободных от кручения, описанные выше, были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми в классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и базисные подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп, свободных от кручения, стало одним из направлений дальнейшего прогресса. Подробнее см. книги Ирвинга Каплански, Ласло Фукса, Филиппа Гриффита и Дэвида Арнольда, а также материалы конференций по теории абелевых групп, опубликованные в серии Lecture Notes in Mathematics, для получения более свежей информации.

Примечание о типографии

Среди математических прилагательных, образованных от имени математика, слово "абелев" примечательно тем, что его часто пишут со строчной буквы "а", а не с прописной "А". Отсутствие заглавной буквы – это неявное признание не только степени институционализации имени Абеля, но и того, насколько широко распространены в современной математике понятия, введенные им.