Введение

Подгруппа, которая отображается сама на себя при любом автоморфизме исходной группы. В математике, в частности в области абстрактной алгебры, известной как теория групп, характеристическая подгруппа — это подгруппа, которая отображается сама на себя при каждом автоморфизме исходной группы. Поскольку любое сопряжение является внутренним автоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной; однако обратное неверно. Примерами характеристических подгрупп являются коммутаторная подгруппа и центр группы.

Определение

Подгруппа H группы G называется характеристической подгруппой, если для любого автоморфизма φ группы G выполняется φ(H) ≤ H; в этом случае пишут H char G.

Эквивалентно потребовать более сильное условие φ(H) = H для любого автоморфизма φ группы G, поскольку φ⁻¹(H) ≤ H влечет обратное включение H ≤ φ(H).

Основные свойства

При заданной подгруппе H, нормальной в G, каждый автоморфизм G индуцирует автоморфизм факторгруппы G/H, что порождает гомоморфизм Aut(G) → Aut(G/H). Если G имеет единственную подгруппу H заданного индекса, то H является характеристической в G.

Строго характерная подгруппа

A, или a, который инвариантен относительно сюръективных эндоморфизмов. Для конечных групп сюръективность эндоморфизма влечёт инъективность, поэтому сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом; следовательно, быть строго характеристическим эквивалентно быть характеристическим. Это больше не верно для бесконечных групп.

Полностью характерная подгруппа

Для ещё более сильного ограничения, полностью характеристическая подгруппа (также полностью инвариантная подгруппа; см. инвариантная подгруппа) H группы G — это подгруппа, остающаяся инвариантной относительно любого эндоморфизма G; то есть, для любого φ ∈ End(G) выполняется: φ[H] ≤ H.

Каждая группа имеет себя (несобственную подгруппу) и тривиальную подгруппу в качестве двух своих полностью характеристических подгрупп. Коммутаторная подгруппа группы всегда является полностью характеристической подгруппой. Любой эндоморфизм G индуцирует эндоморфизм G/H, что определяет отображение End(G) → End(G/H).

Вербальная подгруппа

Еще более сильным ограничением является вербальная подгруппа, которая является образом полностью инвариантной подгруппы свободной группы при гомоморфизме. В более общем случае, любая вербальная подгруппа всегда является полностью характеристической. Для любой редуцированной свободной группы, и, в частности, для любой свободной группы, верно и обратное: любая полностью характеристическая подгруппа является вербальной.

Конечный пример

Рассмотрим группу (группу порядка 12, являющуюся прямым произведением симметрической группы порядка 6 и циклической группы порядка 2). Центр G изоморфен своему второму фактору. Отметим, что первый фактор, , содержит подгруппы, изоморфные , например {e, (12)}; пусть f – морфизм, отображающий на указанную подгруппу. Тогда композиция проекции G на его второй фактор, за которой следует f, а затем включение в G в качестве его первого фактора, задает эндоморфизм G, при котором образ центра, , не содержится в центре, следовательно, центр не является полностью характеристической подгруппой G.

Циклические группы

Каждая подгруппа циклической группы является характеристической.

Функторы подгрупп

Выведенная подгруппа (или подгруппа коммутаторов) группы является вербальной подгруппой. Торсионная подгруппа абелевой группы — полностью инвариантная подгруппа.

Топологические группы

Идентификационная компонента топологической группы всегда является характеристической подгруппой.