Классификация конечных простых групп: основные семейства и исключения

Введение

Массивная теорема, относящая все, кроме 27 конечных простых групп, к нескольким бесконечным семействам.

В математике классификация конечных простых групп — это результат теории групп, утверждающий, что каждая конечная простая группа является либо циклической, либо чередующейся, либо принадлежит к широкому бесконечному классу, называемому группами типа Ли, либо же является одной из двадцати шести или двадцати семи исключений, называемых спорадическими. Доказательство состоит из десятков тысяч страниц, распределенных по нескольким сотням журнальных статей, написанных примерно 100 авторами и опубликованных в основном в период с 1955 по 2004 год. Простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп, подобно тому, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел. Теорема Жордана — Гёльдера представляет собой более точную формулировку этого факта о конечных группах. Однако существенное отличие от разложения целых чисел на множители заключается в том, что такие "строительные блоки" не обязательно однозначно определяют группу, поскольку может существовать множество неизоморфных групп с одним и тем же рядом композиции, или, другими словами, задача расширения не имеет единственного решения. Горенштейн (ум. 1992), Лионс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и переработанную версию доказательства.

Заявление теоремы классификации

Теорема классификации находит применение во многих областях математики, поскольку вопросы о структуре конечных групп (и их действиях на другие математические объекты) иногда можно свести к вопросам о конечных простых группах. Благодаря теореме классификации, на такие вопросы иногда можно ответить, проверяя каждую семью простых групп и каждую спорадическую группу. Даниэль Горенштейн объявил в 1983 году о полной классификации конечных простых групп, но это оказалось преждевременным, так как он был дезинформирован о доказательстве классификации квазитонких групп. О завершении доказательства классификации было объявлено после публикации Ашбахером и Смитом 1221-страничного доказательства для недостающего случая квазитонких групп.

Группы типа компонента

Группа называется группой компонентного типа, если для некоторого централизатора C инволюции факторгруппа C/O(C) имеет компонент (где O(C) – ядро C, то есть максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка). Это в основном группы типа Ли нечетной характеристики большого ранга, а также чередующиеся группы и некоторые спорадические группы. Ключевым шагом в этом случае является устранение препятствия, связанного с ядром инволюции. Это достигается теоремой B, которая утверждает, что каждый компонент C/O(C) является образом компонента в C. Идея состоит в том, что эти группы имеют централизатор инволюции, содержащий компонент, являющийся меньшей квазипростой группой, которая, как предполагается, уже известна по индукции. Для классификации этих групп необходимо рассмотреть каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы, централизатор инволюции которых содержит указанный компонент. Это приводит к большому количеству различных случаев для проверки: помимо 26 спорадических групп, 16 семейств групп типа Ли и чередующихся групп, многие группы малого ранга или определенные над небольшими полями ведут себя иначе, чем в общем случае, и требуют отдельного рассмотрения, а также существенно различаются группы типа Ли четной и нечетной характеристики.

Группы характеристики типа 2

Группа имеет характер 2, если обобщенная подгруппа Ф*(Y) каждой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой. Как следует из названия, это в основном группы типа Ли над полями характеристики 2, а также несколько других групп, являющихся чередующимися, спорадическими или имеющими нечетную характеристику. Их классификация разделена на случаи малого и большого ранга, где ранг – это максимальный ранг нечетной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, который часто (но не всегда) совпадает с рангом картанской подалгебры, когда группа является группой типа Ли в характеристике 2. Группы ранга 1 – это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 – печально известные квазитонкие группы, классифицированные Ашбахером и Смитом. Они приблизительно соответствуют группам типа Ли рангов 1 или 2 над полями характеристики 2. Группы ранга не меньше 3 подразделяются на 3 класса согласно теореме о трихотомии, доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горенштейном и Лайонсом для ранга не меньше 4. Эти три класса – группы типа GF(2) (классифицированные в основном Тиммесфельдом), группы "стандартного типа" для некоторого нечетного простого числа (классифицированные теоремой Гилмана — Грисса и работами других исследователей) и группы уникальности, для которых результат Ашбахера подразумевает отсутствие простых групп. Общий случай более высокого ранга состоит в основном из групп типа Ли над полями характеристики 2 ранга не менее 3 или 4.

Существование и уникальность простых групп

Основная часть классификации дает характеристику каждой простой группы. Затем необходимо проверить, существует ли простая группа, соответствующая каждой характеристике, и является ли она единственной. Это порождает большое количество отдельных задач; например, оригинальные доказательства существования и единственности группы монстров заняли около 200 страниц, а идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбиери была одной из самых трудных частей классификации. Многие доказательства существования и некоторые доказательства единственности спорадических групп первоначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых впоследствии были заменены более короткими доказательствами без использования компьютера.

Сроки доказательства

Дата, указанная ниже, обычно является датой публикации полного доказательства результата, которая иногда на несколько лет позже, чем доказательство или первое объявление о результате, поэтому некоторые из пунктов появляются в "неправильном" порядке. 1832 Галуа вводит нормальные подгруппы и находит простые группы An (n ≥ 5) и PSL2(Fp) (p ≥ 5). 1854 Кэли определяет абстрактные группы. 1861 Матье описывает первые две группы Матье M11, M12, первые спорадические простые группы, и объявляет о существовании M24. 1870 Жордан перечисляет некоторые простые группы: чередующиеся и проективные специальные линейные, и подчеркивает важность простых групп. 1872 Силов доказывает теоремы Силова. 1873 Матье вводит еще три группы Матье M22, M23, M24. 1892 Хёльдер доказывает, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен быть произведением как минимум четырех (не обязательно различных) простых чисел, и задает вопрос о классификации конечных простых групп. 1893 Коул классифицирует простые группы порядка до 660. 1896 Фробениус и Бернсайд начинают изучение теории характеров конечных групп. 1899 Бернсайд классифицирует простые группы, такие что централизатор каждой инволюции является нетривиальной элементарной абелевой 2-группой. 1901 Фробениус доказывает, что группа Фробениуса имеет ядро Фробениуса, и, следовательно, не является простой. 1901 Диксон определяет классические группы над произвольными конечными полями и исключительные группы типа G2 над полями нечетной характеристики. 1901 Диксон вводит исключительные конечные простые группы типа E6. 1904 Бернсайд использует теорию характеров для доказательства теоремы Бернсайда о том, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен делиться как минимум на три различных простых числа. 1905 Диксон вводит простые группы типа G2 над полями четной характеристики. 1911 Бернсайд предполагает, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок. 1928 Холл доказывает существование подгрупп Холла разрешимых групп. 1933 Холл начинает изучение p-групп. 1935 Брауэр начинает изучение модулярных характеров. 1936 Зассенхаус классифицирует конечные резко 3-транзитивные перестановки. 1938 Фиттинг вводит подгруппу Фиттинга и доказывает теорему Фиттинга о том, что для разрешимых групп подгруппа Фиттинга содержит их централизатор. 1942 Брауэр описывает модулярные характеры группы, делящейся на простое число в первой степени. 1954 Брауэр классифицирует простые группы с GL2(Fq) в качестве централизатора инволюции. 1955 Теорема Брауэра — Фаулера подразумевает, что число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции конечно, что предполагает атаку на классификацию с использованием централизаторов инволюций. 1955 Шевалле вводит группы Шевалле, в частности вводя исключительные простые группы типов F4, E7 и E8. 1956 Теорема Холла — Хигмана описывает возможности минимального полинома элемента порядка простой степени для представления p-разрешимой группы. 1957 Судзуки показывает, что все конечные простые CA-группы нечетного порядка являются циклическими. 1958 Теорема Брауэра — Судзуки — Уолла характеризует проективные специальные линейные группы ранга 1 и классифицирует простые CA-группы. 1959 Штайнберг вводит группы Штайнберга, давая некоторые новые конечные простые группы типов 3D4 и 2E6 (последние были независимо найдены примерно в то же время Тицем). 1959 Теорема Брауэра — Судзуки о группах с обобщенными кватернионными подгруппами Силоу 2 показывает, в частности, что ни одна из них не является простой. 1960 Томпсон доказывает, что группа с автоморфизмом без неподвижных точек простого порядка является нильпотентной. 1960 Фейт, Маршалл Холл и Томпсон показывают, что все конечные простые CN-группы нечетного порядка являются циклическими. 1960 Судзуки вводит группы Судзуки типов 2B2. 1961 Ри вводит группы Ри типов 2F4 и 2G2. 1963 Фейт и Томпсон доказывают теорему о нечетном порядке. 1964 Тиц вводит пары BN для групп типа Ли и находит группу Тица. 1965 Теорема Горенштейна — Уолтера классифицирует группы с двугранной подгруппой Силоу 2. 1966 Глауберман доказывает теорему Z*. 1966 Янко вводит группу Янко J1, первую новую спорадическую группу примерно за столетие. 1968 Глауберман доказывает теорему ZJ. 1968 Хигман и Симс вводят группу Хигмана — Симса. 1968 Конвей вводит группы Конвея. 1969 Теорема Уолтера классифицирует группы с абелевыми подгруппами Силоу 2. 1969 Введение группы Сузуки, группы Янко J2, группы Янко J3, группы Маклафлина и группы Хелда. 1969 Горенштейн вводит сигнализаторы на основе идей Томпсона. 1970 МакУильямс показывает, что 2-группы без нормальной абелевой подгруппы ранга 3 имеют секционный 2-ранг не более 4. (Простые группы с подгруппами Силоу, удовлетворяющими последнему условию, позже были классифицированы Горенштейном и Харадой.) 1970 Бендер вводит обобщенную подгруппу Фиттинга. 1970 Теорема Альперина — Брауэра — Горенштейна классифицирует группы с квазидиэдрическими или венцовыми подгруппами Силоу 2, завершая классификацию простых групп 2-ранга не более 2. 1971 Фишер вводит три группы Фишера. 1971 Томпсон классифицирует квадратичные пары. 1971 Бендер классифицирует группы с сильно встроенной подгруппой. 1972 Горенштейн предлагает 16-ступенчатую программу классификации конечных простых групп; окончательная классификация довольно точно следует его схеме. 1972 Лайонс вводит группу Лайонса. 1973 Рудвалис вводит группу Рудвалиса. 1973 Фишер открывает группу малыша-монстра (неопубликована), которую Фишер и Грисс используют для обнаружения группы-монстра, что, в свою очередь, приводит Томпсона к группе Томпсона и Нортона к группе Харады — Нортона (также найденной другим способом Харадой). 1974 Томпсон классифицирует N-группы, группы, все локальные подгруппы которых разрешимы. 1974 Теорема Горенштейна — Харады классифицирует простые группы секционного 2-ранга не более 4, разделяя оставшиеся конечные простые группы на группы компонентного типа и группы характеристического 2 типа. 1974 Тиц показывает, что группы с парами BN ранга не менее 3 являются группами типа Ли. 1974 Ашбахер классифицирует группы с собственным 2-порожденным ядром. 1975 Горенштейн и Уолтер доказывают теорему L-баланса. 1976 Глауберман доказывает теорему о разрешимом сигнализаторе. 1976 Ашбахер доказывает теорему о компонентах, показывая, что группы нечетного типа, удовлетворяющие некоторым условиям, имеют компонент в стандартной форме. Группы с компонентом в стандартной форме были классифицированы в большой коллекции статей многих авторов. 1976 О’Нан вводит группу О’Нана. 1976 Янко вводит группу Янко J4, последнюю спорадическую группу, которая была обнаружена. 1977 Ашбахер характеризует группы типа Ли с нечетной характеристикой в своей классической теореме инволюции. После этой теоремы, которая в некотором смысле касается "большинства" простых групп, было принято считать, что конец классификации уже впереди. 1978 Тиммесфельд доказывает теорему O2 сверхспециальной, разбивая классификацию групп типа GF(2) на несколько меньших задач. 1978 Ашбахер классифицирует тонкие конечные группы, которые в основном являются группами ранга 1 типа Ли по полям с четной характеристикой. 1981 Бомбери использует теорию устранения, чтобы завершить работу Томпсона по характеристике групп Ри, один из самых сложных шагов классификации. 1982 МакБрайд доказывает теорему сигнализатора для всех конечных групп. 1982 Грисс строит группу-монстра вручную. 1983 Теорема Гилмана — Грисса классифицирует группы характеристического 2 типа и ранга не менее 4 со стандартными компонентами, один из трех случаев теоремы трихотомии. 1983 Ашбахер доказывает, что ни одна конечная группа не удовлетворяет гипотезе уникальности, одному из трех случаев, заданных теоремой трихотомии для групп характеристического 2 типа. 1983 Горенштейн и Лайонс доказывают теорему трихотомии для групп характеристического 2 типа и ранга не менее 4, в то время как Ашбахер рассматривает случай ранга 3. Это разделяет эти группы на 3 подслучая: случай уникальности, группы типа GF(2) и группы со стандартным компонентом. 1983 Горенштейн объявляет о доказательстве классификации, несколько преждевременно, поскольку доказательство квазитинного случая было неполным. 1985 Конвей, Кертис, Нортон, Паркер, Уилсон и Такрей опубликовали А...

Many of the items in the table below are taken from The date given is usually the publication date of the complete proof of a result, which is sometimes several years later than the proof or first announcement of the result, so some of the items appear in the "wrong" order. Date Development1832Galois introduces normal subgroups and finds the simple groups An (n ≥ 5) and PSL2(Fp) (p ≥ 5)1854Cayley defines abstract groups1861Mathieu describes the first two Mathieu groups M11, M12, the first sporadic simple groups, and announces the existence of M24.1870Jordan lists some simple groups: the alternating and projective special linear ones, and emphasizes the importance of the simple groups.1872Sylow proves the Sylow theorems1873Mathieu introduces three more Mathieu groups M22, M23, M24.1892Hölder proves that the order of any nonabelian finite simple group must be a product of at least four (not necessarily distinct) primes, and asks for a classification of finite simple groups.1893Cole classifies simple groups of order up to 6601896Frobenius and Burnside begin the study of character theory of finite groups.1899Burnside classifies the simple groups such that the centralizer of every involution is a non trivial elementary abelian 2 group.1901Frobenius proves that a Frobenius group has a Frobenius kernel, so in particular is not simple.1901Dickson defines classical groups over arbitrary finite fields, and exceptional groups of type G2 over fields of odd characteristic.1901Dickson introduces the exceptional finite simple groups of type E6.1904Burnside uses character theory to prove Burnside's theorem that the order of any non abelian finite simple group must be divisible by at least 3 distinct primes.1905Dickson introduces simple groups of type G2 over fields of even characteristic 1911Burnside conjectures that every non abelian finite simple group has even order1928Hall proves the existence of Hall subgroups of solvable groups1933Hall begins his study of p groups1935Brauer begins the study of modular characters.1936Zassenhaus classifies finite sharply 3 transitive permutation groups1938Fitting introduces the Fitting subgroup and proves Fitting's theorem that for solvable groups the Fitting subgroup contains its centralizer.1942Brauer describes the modular characters of a group divisible by a prime to the first power.1954Brauer classifies simple groups with GL2(Fq) as the centralizer of an involution.1955The Brauer–Fowler theorem implies that the number of finite simple groups with given centralizer of involution is finite, suggesting an attack on the classification using centralizers of involutions.1955Chevalley introduces the Chevalley groups, in particular introducing exceptional simple groups of types F4, E7, and E8.1956The Hall–Higman theorem describes the possibilities for the minimal polynomial of an element of prime power order for a representation of a p solvable group.1957 Suzuki shows that all finite simple CA groups of odd order are cyclic.1958The Brauer–Suzuki–Wall theorem characterizes the projective special linear groups of rank 1, and classifies the simple CA groups.1959Steinberg introduces the Steinberg groups, giving some new finite simple groups, of types 3D4 and 2E6 (the latter were independently found at about the same time by Tits).1959The Brauer–Suzuki theorem about groups with generalized quaternion Sylow 2 subgroups shows in particular that none of them are simple.1960Thompson proves that a group with a fixed point free automorphism of prime order is nilpotent.1960 Feit, Marshall Hall, and Thompson show that all finite simple CN groups of odd order are cyclic.1960Suzuki introduces the Suzuki groups, with types 2B2.1961Ree introduces the Ree groups, with types 2F4 and 2G2. 1963 Feit and Thompson prove the odd order theorem.1964Tits introduces BN pairs for groups of Lie type and finds the Tits group1965The Gorenstein–Walter theorem classifies groups with a dihedral Sylow 2 subgroup.1966Glauberman proves the Z* theorem1966Janko introduces the Janko group J1, the first new sporadic group for about a century.1968Glauberman proves the ZJ theorem1968Higman and Sims introduce the Higman–Sims group1968Conway introduces the Conway groups1969Walter's theorem classifies groups with abelian Sylow 2 subgroups1969Introduction of the Suzuki sporadic group, the Janko group J2, the Janko group J3, the McLaughlin group, and the Held group.1969Gorenstein introduces signalizer functors based on Thompson's ideas.1970MacWilliams shows that the 2 groups with no normal abelian subgroup of rank 3 have sectional 2 rank at most 4. (The simple groups with Sylow subgroups satisfying the latter condition were later classified by Gorenstein and Harada. )1970Bender introduced the generalized Fitting subgroup1970The Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifies groups with quasi dihedral or wreathed Sylow 2 subgroups, completing the classification of the simple groups of 2 rank at most 21971Fischer introduces the three Fischer groups1971Thompson classifies quadratic pairs1971Bender classifies group with a strongly embedded subgroup1972Gorenstein proposes a 16 step program for classifying finite simple groups; the final classification follows his outline quite closely.1972Lyons introduces the Lyons group1973Rudvalis introduces the Rudvalis group1973Fischer discovers the baby monster group (unpublished), which Fischer and Griess use to discover the monster group, which in turn leads Thompson to the Thompson sporadic group and Norton to the Harada–Norton group (also found in a different way by Harada).1974Thompson classifies N groups, groups all of whose local subgroups are solvable.1974The Gorenstein–Harada theorem classifies the simple groups of sectional 2 rank at most 4, dividing the remaining finite simple groups into those of component type and those of characteristic 2 type.1974Tits shows that groups with BN pairs of rank at least 3 are groups of Lie type1974Aschbacher classifies the groups with a proper 2 generated core1975Gorenstein and Walter prove the L balance theorem1976Glauberman proves the solvable signalizer functor theorem1976Aschbacher proves the component theorem, showing roughly that groups of odd type satisfying some conditions have a component in standard form. The groups with a component of standard form were classified in a large collection of papers by many authors.1976O'Nan introduces the O'Nan group1976Janko introduces the Janko group J4, the last sporadic group to be discovered1977Aschbacher characterizes the groups of Lie type of odd characteristic in his classical involution theorem. After this theorem, which in some sense deals with "most" of the simple groups, it was generally felt that the end of the classification was in sight.1978Timmesfeld proves the O2 extraspecial theorem, breaking the classification of groups of GF(2) type into several smaller problems.1978Aschbacher classifies the thin finite groups, which are mostly rank 1 groups of Lie type over fields of even characteristic.1981Bombieri uses elimination theory to complete Thompson's work on the characterization of Ree groups, one of the hardest steps of the classification.1982McBride proves the signalizer functor theorem for all finite groups.1982Griess constructs the monster group by hand1983 The Gilman–Griess theorem classifies groups of characteristic 2 type and rank at least 4 with standard components, one of the three cases of the trichotomy theorem.1983Aschbacher proves that no finite group satisfies the hypothesis of the uniqueness case, one of the three cases given by the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type.1983Gorenstein and Lyons prove the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type and rank at least 4, while Aschbacher does the case of rank 3. This divides these groups into 3 subcases: the uniqueness case, groups of GF(2) type, and groups with a standard component. 1983 Gorenstein announces the proof of the classification is complete, somewhat prematurely as the proof of the quasithin case was incomplete. 1985 Conway, Curtis, Norton, Parker, Wilson and Thackray publish the Atlas of Finite Groups with basic information about 93 finite simple groups. 1994 Gorenstein, Lyons, and Solomon begin publication of the revised classification2004Aschbacher and Smith publish their work on quasithin groups (which are mostly groups of Lie type of rank at most 2 over fields of even characteristic), filling the last gap in the classification known at that time.2008Harada and Solomon fill a minor gap in the classification by describing groups with a standard component that is a cover of the Mathieu group M22, a case that was accidentally omitted from the proof of the classification due to an error in the calculation of the Schur multiplier of M22.2012Gonthier and collaborators announce a computer checked version of the Feit–Thompson theorem using the Coq proof assistant.

Классификация второго поколения

Доказательство теоремы, каким оно было примерно в 1985 году, можно назвать доказательством первого поколения. Из-за чрезмерной длины доказательства первого поколения, значительные усилия были направлены на поиск более простого доказательства, называемого классификационным доказательством второго поколения. Эти усилия, получившие название «ревизионизм», первоначально возглавлял Даниэль Горенштейн. По состоянию на 2023 год опубликовано десять томов доказательства второго поколения (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). В 2012 году Соломон оценил, что для завершения проекта потребуется еще 5 томов, но отметил, что прогресс в их написании идет медленно. По оценкам, новое доказательство в конечном итоге займет около 5000 страниц. (Эта длина отчасти объясняется тем, что доказательство второго поколения написано в более свободном стиле.) Однако с публикацией 9-го тома серии GLS, включая вклад Ашбахера и Смита, эта оценка уже была достигнута, и еще несколько томов находятся в стадии подготовки (оставшаяся часть, первоначально предназначенная для 9-го тома, а также планируемые тома 10 и 11). Ашбахер и Смит написали свои два тома, посвященные квазитонкому случаю, таким образом, что эти тома могут быть включены в доказательство второго поколения. Горенштейн и его коллеги привели несколько причин, по которым возможно более простое доказательство. Самое главное, что точная и окончательная формулировка теоремы теперь известна. Можно применять более простые методы, которые, как известно, достаточны для типов групп, которые, как известно, являются конечными простыми. В отличие от этого, те, кто работал над доказательством первого поколения, не знали, сколько существует спорадических групп, и, фактически, некоторые из спорадических групп (например, группы Янко) были открыты в процессе доказательства других случаев теоремы классификации. В результате многие части теоремы были доказаны с использованием излишне общих методов. Поскольку конечный результат был неизвестен, доказательство первого поколения состоит из множества независимых теорем, касающихся важных частных случаев. Большая часть работы по доказательству этих теорем была посвящена анализу многочисленных частных случаев. При наличии более масштабного и скоординированного доказательства, рассмотрение многих из этих частных случаев можно отложить до тех пор, пока не будут применены наиболее мощные предположения. Ценой этой пересмотренной стратегии является то, что теоремы первого поколения больше не имеют относительно коротких доказательств, а вместо этого опираются на полную классификацию. Многие теоремы первого поколения пересекаются и, следовательно, разделяют возможные случаи неэффективным образом. В результате семейства и подсемейства конечных простых групп были идентифицированы несколько раз. Пересмотренное доказательство устраняет эти избыточности, опираясь на иное разделение случаев. Теоретики конечных групп имеют больше опыта в такого рода задачах и располагают новыми методами. Работу по классификации проблемы, выполненную Ульрихом Мейерфранкенфельдом, Берндом Стеллмахером, Гернотом Стротом и другими, назвали программой третьего поколения. Одной из целей этой программы является единообразное рассмотрение всех групп по характеристике 2 с использованием метода амальгамы.

The proof of the theorem, as it stood around 1985 or so, can be called first generation. Because of the extreme length of the first generation proof, much effort has been devoted to finding a simpler proof, called a second generation classification proof. This effort, called "revisionism", was originally led by Daniel Gorenstein. as of 2023, ten volumes of the second generation proof have been published (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). In 2012 Solomon estimated that the project would need another 5 volumes, but said that progress on them was slow. It is estimated that the new proof will eventually fill approximately 5,000 pages. (This length stems in part from the second generation proof being written in a more relaxed style.) However, with the publication of volume 9 of the GLS series, and including the Aschbacher–Smith contribution, this estimate was already reached, with several more volumes still in preparation (the rest of what was originally intended for volume 9, plus projected volumes 10 and 11). Aschbacher and Smith wrote their two volumes devoted to the quasithin case in such a way that those volumes can be part of the second generation proof. Gorenstein and his collaborators have given several reasons why a simpler proof is possible. The most important thing is that the correct, final statement of the theorem is now known. Simpler techniques can be applied that are known to be adequate for the types of groups we know to be finite simple. In contrast, those who worked on the first generation proof did not know how many sporadic groups there were, and in fact some of the sporadic groups (e. g., the Janko groups) were discovered while proving other cases of the classification theorem. As a result, many of the pieces of the theorem were proved using techniques that were overly general. Because the conclusion was unknown, the first generation proof consists of many stand alone theorems, dealing with important special cases. Much of the work of proving these theorems was devoted to the analysis of numerous special cases. Given a larger, orchestrated proof, dealing with many of these special cases can be postponed until the most powerful assumptions can be applied. The price paid under this revised strategy is that these first generation theorems no longer have comparatively short proofs, but instead rely on the complete classification. Many first generation theorems overlap, and so divide the possible cases in inefficient ways. As a result, families and subfamilies of finite simple groups were identified multiple times. The revised proof eliminates these redundancies by relying on a different subdivision of cases. Finite group theorists have more experience at this sort of exercise, and have new techniques at their disposal. has called the work on the classification problem by Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, and a few others, a third generation program. One goal of this is to treat all groups in characteristic 2 uniformly using the amalgam method.

Длина доказательства

Горенштейн обсудил некоторые причины, по которым может не существовать короткого доказательства классификации, аналогичного классификации компактных групп Ли. Наиболее очевидная причина заключается в том, что список простых групп довольно сложен: с 26 спорадическими группами, вероятно, потребуется учитывать множество частных случаев в любом доказательстве. До сих пор никому не удалось найти чистое и единообразное описание конечных простых групп, подобное параметризации компактных групп Ли с помощью диаграмм Динкина. Атия и другие предлагали упростить классификацию, построив некоторый геометрический объект, на котором группы действуют, а затем классифицируя эти геометрические структуры. Проблема в том, что никто не смог предложить простой способ найти такую геометрическую структуру, связанную с простой группой. В определенном смысле, классификация работает, находя геометрические структуры, такие как пары BN, но это происходит лишь в конце очень длительного и сложного анализа структуры конечной простой группы. Другое предложение по упрощению доказательства – более широкое использование теории представлений. Проблема здесь в том, что теория представлений, по-видимому, требует очень строгого контроля над подгруппами группы для эффективной работы. Для групп малого ранга такой контроль существует, и теория представлений работает хорошо, но для групп большего ранга никому не удавалось использовать ее для упрощения классификации. На ранних этапах классификации были предприняты значительные усилия по использованию теории представлений, но это не принесло особого успеха в случае групп более высокого ранга.