Введение
Самая маленькая нормальная подгруппа, при делении по которой факторгруппа коммутативна. В математике, в частности в абстрактной алгебре, коммутаторная подгруппа или производная подгруппа группы — это подгруппа, порожденная всеми коммутаторами группы. Коммутаторная подгруппа важна, поскольку она является самой маленькой нормальной подгруппой, такой что факторгруппа исходной группы по этой подгруппе является абелевой. Иными словами, факторгруппа G/N абелева тогда и только тогда, когда N содержит коммутаторную подгруппу группы G. Таким образом, в некотором смысле она дает меру того, насколько группа далека от абелевой; чем больше коммутаторная подгруппа, тем "менее абелевой" является группа.
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the commutator subgroup or derived subgroup of a group is the subgroup generated by all the commutators of the group. The commutator subgroup is important because it is the smallest normal subgroup such that the quotient group of the original group by this subgroup is abelian. In other words, is abelian if and only if contains the commutator subgroup of So in some sense it provides a measure of how far the group is from being abelian; the larger the commutator subgroup is, the "less abelian" the group is.
Абелинизация
Для данной группы G, факторгруппа G/ [G,G] является абелевой тогда и только тогда, когда [G,G] содержится в центре G. Факторгруппа G/ [G,G] является абелевой группой, называемой абелианизацией группы G или группой, сделанной абелевой. Обычно она обозначается Gab или G^ab. Существует полезная категориальная интерпретация отображения G → G/ [G,G]. А именно, G/ [G,G] является универсальной для гомоморфизмов из G в абелеву группу: для любой абелевой группы A и гомоморфизма групп φ: G → A существует единственный гомоморфизм ψ: G/ [G,G] → A такой, что φ = ψ ∘ π, где π: G → G/ [G,G] – каноническое отображение. Как обычно для объектов, определенных универсальными свойствами отображения, это показывает уникальность абелианизации G с точностью до канонического изоморфизма, в то время как явная конструкция показывает существование. Функтор абелизации является левым сопряженным к функтору включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелизации Grp → Ab делает категорию Ab рефлексивной подкатегорией категории групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левый сопряженный. Другая важная интерпретация G/ [G,G] – это H₁(G, ℤ), первая гомологическая группа G с целочисленными коэффициентами.
The quotient is an abelian group called the abelianization of or made abelian. It is usually denoted by or
There is a useful categorical interpretation of the map Namely is universal for homomorphisms from to an abelian group : for any abelian group and homomorphism of groups there exists a unique homomorphism such that As usual for objects defined by universal mapping properties, this shows the uniqueness of the abelianization up to canonical isomorphism, whereas the explicit construction shows existence. The abelianization functor is the left adjoint of the inclusion functor from the category of abelian groups to the category of groups. The existence of the abelianization functor Grp → Ab makes the category Ab a reflective subcategory of the category of groups, defined as a full subcategory whose inclusion functor has a left adjoint. Another important interpretation of is as , the first homology group of with integral coefficients.
Классы групп
Группа является абелевой группой тогда и только тогда, когда её производная группа тривиальна: [G,G] = {e}. Эквивалентно, если и только если группа равна своей абелизации. См. выше определение абелизации группы. Группа является совершенной группой тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [G,G] = G. Эквивалентно, если и только если абелизация группы тривиальна. Это противоположно абелевой группе. Группа с [G,G] = G^n для некоторого n из N называется разрешимой группой; это условие слабее, чем абелевость, которая соответствует случаю n = 1. Группа, для которой [G,G] ≠ G^n для всех n из N, называется неразрешимой группой. Группа с [G,G] = G^α для некоторой ординальной величины α, возможно бесконечной, называется гипоабелевой группой; это условие слабее, чем разрешимость, которая соответствует случаю, когда α – конечное число (натуральное число).
Идеальная группа.
Всякий раз, когда производная подгруппа группы совпадает с самой группой, она называется совершенной группой. Это включает неабелевы простые группы и специальные линейные группы для фиксированного поля.
Примеры
Коммутаторная подгруппа любой абелевой группы тривиальна. Коммутаторная подгруппа общей линейной группы над полем или кольцом с делением k равна специальной линейной группе, при условии, что k не является полем из двух элементов. Коммутаторная подгруппа чередующейся группы A4 является группой Клейна четырех. Коммутаторная подгруппа симметричной группы Sn является чередующейся группой An. Коммутаторная подгруппа кватернионной группы Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} равна [Q,Q] = {1, −1}.
Карта со стороны
Поскольку производная подгруппа является характеристической, любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм её абелевой оболочки. Поскольку абелева оболочка абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это определяет отображение.