Введение

Подгруппа, инвариантная относительно сопряжения

В абстрактной алгебре нормальная подгруппа (также известная как инвариантная подгруппа или самосопряжённая подгруппа) — это подгруппа, которая инвариантна относительно сопряжения элементами группы, частью которой она является. Иными словами, подгруппа H группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда для всех g из G и h из H выполняется gHg⁻¹ = H. Обычное обозначение для этого отношения: H ◁ G. Нормальные подгруппы важны, поскольку именно они (и только они) могут быть использованы для построения факторгрупп данной группы. Кроме того, нормальные подгруппы группы G являются ядрами групповых гомоморфизмов с областью определения G, что означает, что они могут быть использованы для внутренней классификации этих гомоморфизмов. Эварист Галуа первым осознал важность существования нормальных подгрупп.

Определения

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой, если она инвариантна относительно сопряжения; то есть, сопряжение элемента из подгруппы элементом из группы всегда принадлежит подгруппе. Обычное обозначение для этого отношения — .

Равноценные условия

Для любой подгруппы H группы G, следующие условия эквивалентны тому, что H является нормальной подгруппой G. Поэтому любое из них может быть принято в качестве определения. Образ сопряжения любого элемента из H посредством любого элемента из G является подмножеством H, то есть, h' ∈ H для всех h ∈ H и g ∈ G. Образ сопряжения любого элемента из H посредством любого элемента из G равен H, то есть, g⁻¹hg ∈ H для всех h ∈ H и g ∈ G. Для всех g ∈ G, левые и правые классы смежности gH и Hg равны. Множества левых и правых классов смежности H в G совпадают. Умножение в G сохраняет отношение эквивалентности "находится в том же левом классе смежности". То есть, для любых g, h ∈ G, если gH = hH, то gh = hg. Существует группа на множестве левых классов смежности H в G, где умножение любых двух левых классов смежности gH и hH дает левый класс смежности ghH (эту группу называют фактор-группой G по H, обозначается G/H). G/H является объединением классов сопряженности элементов из G. G/H сохраняется внутренними автоморфизмами G. Существует некоторый групповой гомоморфизм φ: G → K, ядро которого равно H. Существует групповой гомоморфизм φ: G → K, волокна которого образуют группу, где тождественным элементом является φ⁻¹(e), а умножение любых двух волокон φ⁻¹(a) и φ⁻¹(b) дает волокно φ⁻¹(ab) (эта группа является той же группой, упомянутой выше). Существует некоторое отношение конгруэнтности на G, для которого класс эквивалентности единичного элемента равен H. Для всех g, h ∈ G, коммутатор [g, h] = g⁻¹h⁻¹gh принадлежит H. Любые два элемента коммутируют по модулю отношения нормальной подгруппы. То есть, для всех g, h ∈ G, gh = hg по модулю H, если и только если g⁻¹h⁻¹gh ∈ H.

Примеры

Для любой группы , тривиальная подгруппа, состоящая только из единичного элемента , всегда является нормальной подгруппой . Точно так же, сама группа всегда является нормальной подгруппой (если это единственные нормальные подгруппы, то группа называется простой). Другие известные нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (множество элементов, коммутирующих со всеми остальными элементами) и коммутаторную подгруппу. В более общем случае, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой. Если – абелева группа, то каждая подгруппа в является нормальной, поскольку . В более общем случае, для любой группы , каждая подгруппа центра в является нормальной в (в частном случае, когда является абелевой, центр совпадает со всей группой , следовательно, все подгруппы абелевой группы нормальны). Группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой. Конкретным примером нормальной подгруппы является подгруппа симметрической группы , состоящая из единичного элемента и обоих трехциклов. В частности, можно проверить, что каждое смежное классом относительно равно либо самому себе, либо . С другой стороны, подгруппа не является нормальной в , поскольку . Это иллюстрирует общий факт, что любая подгруппа индекса два является нормальной. В качестве примера нормальной подгруппы в матричной группе рассмотрим общую линейную группу всех невырожденных матриц с вещественными элементами относительно операции умножения матриц и ее подгруппу всех матриц с определителем 1 (специальную линейную группу). Чтобы понять, почему подгруппа является нормальной в , рассмотрим произвольную матрицу из и произвольную невырожденную матрицу . Используя два важных тождества и , получаем, что , и, следовательно, также. Это означает, что инвариантна относительно сопряжения в , поэтому является нормальной подгруппой. В группе кубика Рубика нормальными являются подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или реберных элементов. Группа сдвигов является нормальной подгруппой группы Евклида в любом измерении. Это означает, что применение жесткого преобразования, за которым следует сдвиг, а затем обратное жесткое преобразование, оказывает тот же эффект, что и один сдвиг. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой группы Евклида, если размерность не меньше 2: сначала сдвиг, затем вращение вокруг начала координат, а затем обратный сдвиг, как правило, не фиксируют начало координат и, следовательно, не оказывают того же эффекта, что и одно вращение вокруг начала координат.

Свойства

Если является нормальной подгруппой , и является подгруппой, содержащей , то является нормальной подгруппой . Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно является нормальной в группе. То есть, нормальность не является транзитивным отношением. Наименьшая группа, демонстрирующая это явление, — диэдрическая группа восьмого порядка. Однако характерная подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. Группа, в которой нормальность является транзитивной, называется T-группой. Две группы и являются нормальными подгруппами их прямого произведения . Если группа является полупрямым произведением , то нормально в , хотя не обязательно быть нормальной в . Если и являются нормальными подгруппами аддитивной группы , такой, что и , то . Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах; то есть, если является сюръективным гомоморфизмом группы и нормально в , то образ нормально в . Нормальность сохраняется при взятии обратных изображений; то есть, если является гомоморфизмом группы и нормально в , то обратное изображение нормально в . Нормальность сохраняется при взятии прямых произведений; то есть, если и , то . Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной. В более общем случае, подгруппа , конечного индекса , в содержит подгруппу, нормальную в и имеющую индекс, делящий , называемую нормальным ядром. В частности, если является наименьшим простым числом, делящим порядок , то каждая подгруппа индекса является нормальной. Тот факт, что нормальные подгруппы из являются именно ядрами гомоморфизмов групп, определенных на , объясняет важность нормальных подгрупп; они являются способом внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, конечная группа, не являющаяся единичной, является простой тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим неединичным гомоморфным образам, конечная группа совершенна тогда и только тогда, когда у нее нет нормальных подгрупп простого индекса, а группа несовершенна тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополнена какой-либо собственной нормальной подгруппой.

Сетка нормальных подгрупп

При заданных двух нормальных подгрупп, и , группы , их пересечение и их произведение также являются нормальными подгруппами группы .

Нормальные подгруппы группы образуют решетку относительно включения подмножеств, с наименьшим элементом, , и наибольшим элементом, . В этой решетке пересечением двух нормальных подгрупп, и , является их пересечение, а объединением – их произведение. Решетка полная и модульная.