Введение

Найти значения переменных, которые делают уравнение истинным. В математике решение уравнения – это поиск его решений, то есть значений (чисел, функций, множеств и т.д.), удовлетворяющих условию, заданному уравнением, которое обычно состоит из двух выражений, связанных знаком равенства. При поиске решения одна или несколько переменных обозначаются как неизвестные. Решение – это присвоение значений неизвестным переменным, при котором равенство в уравнении становится истинным. Иными словами, решение – это значение или набор значений (по одному для каждой неизвестной), при подстановке которых вместо неизвестных уравнение превращается в тождество. Решение уравнения часто называют корнем уравнения, особенно, но не только для полиномиальных уравнений. Множество всех решений уравнения называется множеством решений. Уравнение можно решить численно или символически. Численное решение уравнения означает, что в качестве решений допускаются только числа. Символическое решение уравнения означает, что для представления решений могут использоваться выражения. Например, уравнение 1 = x + y = 2x – 1 решается относительно неизвестной x выражением x = y + 1, поскольку подстановка y + 1 вместо x в уравнение дает 1 = (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, что является истинным утверждением. Также можно считать переменную y неизвестной, и тогда уравнение решается относительно y как y = x – 1. Или x и y могут рассматриваться как неизвестные, и тогда существует множество решений уравнения; символическое решение имеет вид (x, y) = (a + 1, a), где переменная a может принимать любое значение. Подстановка конкретных чисел в символическое решение дает численное решение; например, если a = 0, то (x, y) = (1, 0) (то есть x = 1, y = 0), а если a = 1, то (x, y) = (2, 1). Различие между известными и неизвестными переменными обычно указывается в формулировке задачи фразами типа «уравнение относительно x и y» или «решить относительно x и y», которые определяют неизвестные, в данном случае x и y. Однако принято использовать x, y, z для обозначения неизвестных, а a, b, c – для обозначения известных переменных, которые часто называют параметрами. Это особенно характерно при рассмотрении полиномиальных уравнений, таких как квадратные уравнения. Однако для некоторых задач все переменные могут выполнять любую из этих ролей. В зависимости от контекста, решение уравнения может заключаться в нахождении любого решения (достаточно одного), всех решений или решения, удовлетворяющего дополнительным условиям, например, принадлежащего заданному интервалу. Если задача состоит в поиске наилучшего решения по определенному критерию, то это задача оптимизации. Решение задачи оптимизации обычно не называют «решением уравнения», поскольку, как правило, методы решения начинаются с некоторого начального решения и ищут лучшее решение, повторяя процесс до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.

Способы растворения

Методы решения уравнений обычно зависят от типа уравнения, как от вида выражений, входящих в уравнение, так и от природы значений, которые могут принимать неизвестные. Разнообразие типов уравнений велико, равно как и разнообразие соответствующих методов. Ниже рассмотрены лишь некоторые конкретные типы. В общем случае, для данного класса уравнений может не существовать известного систематического метода (алгоритма), гарантирующего решение. Это может быть обусловлено недостатком математических знаний; некоторые задачи оставались нерешенными на протяжении столетий. Однако это также отражает тот факт, что в общем случае такого метода не может существовать: некоторые задачи принципиально неразрешимы алгоритмически, например, десятая проблема Гильберта, неразрешимость которой была доказана в 1970 году. Для ряда классов уравнений алгоритмы решения были найдены, некоторые из них реализованы и включены в системы компьютерной алгебры, но часто не требуют более сложной аппаратуры, чем карандаш и бумага. В других случаях известны эвристические методы, которые часто оказываются успешными, но не гарантируют достижения результата.

Грубая сила, пробные и ошибочные, вдохновленные догадки

Если множество решений уравнения ограничено конечным множеством (как, например, в уравнениях модульной арифметики), или может быть сведено к конечному числу возможностей (как в случае некоторых диофантовых уравнений), то множество решений можно найти методом полного перебора, то есть путем проверки каждого из возможных значений (потенциальных решений). Однако число возможностей для проверки, хотя и конечное, может быть настолько велико, что полный перебор станет практически невозможным; это, фактически, является требованием к надежным методам шифрования. Как и при решении любых задач, метод проб и ошибок иногда может привести к решению, особенно если форма уравнения или его сходство с другим уравнением, имеющим известное решение, подсказывает "обоснованное предположение". Если проверка предположения показывает, что оно не является решением, анализ причины неудачи может привести к его корректировке.

Системы линейных уравнений

Меньшие системы линейных уравнений можно также решать методами элементарной алгебры. Для решения более крупных систем используются алгоритмы, основанные на линейной алгебре. См. метод Гаусса и численное решение систем линейных уравнений.

Диофантические уравнения

В диофантовых уравнениях требуется, чтобы решения были целыми числами. В некоторых случаях можно использовать метод перебора, как упоминалось выше. В других случаях, особенно если уравнение содержит одну неизвестную, возможно решить уравнение относительно рациональных неизвестных (см. теорему о рациональных корнях), а затем найти решения диофантового уравнения, ограничивая множество решений целыми числами. Например, полиномиальное уравнение имеет рациональные решения и , и, следовательно, рассматриваемое как диофантово уравнение, оно имеет единственное решение . Однако в целом диофантовы уравнения относятся к числу наиболее трудных для решения.

Численные методы

При более сложных уравнениях с действительными или комплексными числами, простые методы решения уравнений могут оказаться неэффективными. В таких случаях часто применяют алгоритмы поиска корней, такие как метод Ньютона-Рафсона, для нахождения численного решения уравнения, которое для некоторых задач может быть вполне достаточным. Существуют также численные методы для решения систем линейных уравнений.

Матричные уравнения

Уравнения, содержащие матрицы и векторы действительных чисел, часто решаются методами линейной алгебры.

Дифференциальные уравнения

Существует обширный набор методов решения различных видов дифференциальных уравнений, как численными, так и аналитическими способами. Особый класс задач, который можно отнести к этой области, – это интегрирование, а аналитические методы решения таких задач теперь называются символьным интегрированием. Решения дифференциальных уравнений могут быть явными или неявными.