Точка схода в перспективе: концепция и математическое описание.
Vanishing point
Точка схода в перспективе: определение, виды (одна, две, три точки). История возникновения (Леон Баттиста Альберти, 1435). Примеры в искусстве и жизни.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Художественная концепция, связанная с перспективой
Artistic concept relating to perspective
Точка схода – это точка на плоскости изображения перспективного изображения, в которой кажутся сходящимися двухмерные перспективные проекции взаимно параллельных линий в трехмерном пространстве. Если набор параллельных линий перпендикулярен плоскости изображения, то такая конструкция называется одноточечной перспективой, а точка схода соответствует окулусу, или "точке зрения", с которой изображение следует рассматривать для соблюдения правильной перспективной геометрии. Традиционные линейные рисунки используют объекты с одним-тремя наборами параллельных линий, определяя одну-три точки схода. Итальянский ученый-гуманист и архитектор Леон Баттиста Альберти впервые представил эту концепцию в своем трактате о перспективе в искусстве «De pictura», написанном в 1435 году. Прямые железнодорожные пути – распространенный современный пример.
A vanishing point is a point on the image plane of a perspective rendering where the two dimensional perspective projections of mutually parallel lines in three dimensional space appear to converge. When the set of parallel lines is perpendicular to a picture plane, the construction is known as one point perspective, and their vanishing point corresponds to the oculus, or "eye point", from which the image should be viewed for correct perspective geometry. Traditional linear drawings use objects with one to three sets of parallels, defining one to three vanishing points. Italian humanist polymath and architect Leon Battista Alberti first introduced the concept in his treatise on perspective in art, De pictura, written in 1435. Straight railroad tracks are a familiar modern example.
Векторная обозначение
Точку исчезновения также можно назвать "точкой направления", поскольку линии, имеющие один и тот же направляющий вектор, скажем, D, будут иметь одну и ту же точку исчезновения. Математически, пусть q = (x, y, f) – точка, лежащая на плоскости изображения, где f – фокусное расстояние (камеры, связанной с изображением), и пусть – единичный вектор, связанный с q, где. Если мы рассматриваем прямую линию в пространстве S с единичным вектором n<sub>s</sub> = (nx, ny, nz) и ее точкой исчезновения v<sub>s</sub>, то единичный вектор, связанный с v<sub>s</sub>, равен n<sub>s</sub>, при условии, что оба направлены к плоскости изображения. Когда плоскость изображения параллельна двум мировым координатным осям, линии, параллельные оси, пересекаемой этой плоскостью изображения, будут иметь изображения, которые сходятся в одной точке исчезновения. Линии, параллельные другим двум осям, не образуют точек исчезновения, поскольку они параллельны плоскости изображения. Это одноточечная перспектива. Аналогично, когда плоскость изображения пересекает две мировые координатные оси, линии, параллельные этим осям, сходятся в двух точках исчезновения на плоскости изображения. Это называется двухточечной перспективой. В трехточечной перспективе плоскость изображения пересекает оси x, y и z, и поэтому линии, параллельные этим осям, пересекаются, образуя три различные точки исчезновения.
The vanishing point may also be referred to as the "direction point", as lines having the same directional vector, say D, will have the same vanishing point. Mathematically, let q ≡ (x, y, f) be a point lying on the image plane, where f is the focal length (of the camera associated with the image), and let be the unit vector associated with q, where If we consider a straight line in space S with the unit vector 'n's ≡ (nx, ny, nz) and its vanishing point 'v's, the unit vector associated with 'v's is equal to 'n's, assuming both point towards the image plane. When the image plane is parallel to two world coordinate axes, lines parallel to the axis that is cut by this image plane will have images that meet at a single vanishing point. Lines parallel to the other two axes will not form vanishing points as they are parallel to the image plane. This is one point perspective. Similarly, when the image plane intersects two world coordinate axes, lines parallel to those planes will meet form two vanishing points in the picture plane. This is called two point perspective. In three point perspective the image plane intersects the x, y, and z axes and therefore lines parallel to these axes intersect, resulting in three different vanishing points.
Теорема
Теорема о точке схода является основной теоремой в науке о перспективе. Она утверждает, что изображение линии L в пространстве на плоскости изображения π, не параллельной этой плоскости, определяется её пересечением с π и точкой схода этой линии. Некоторые авторы использовали формулировку: "образ линии включает в себя её точку схода". Гидобальдо дель Монте привел несколько доказательств, а Хамфри Диттон назвал этот результат "главным и великим положением". Брук Тейлор написал первую книгу о перспективе на английском языке в 1714 году, в которой был введен термин "точка схода" и впервые полностью описана геометрия многоточечной перспективы. Историк Кирсти Андерсен собрала эти наблюдения. Предполагалось, что пространство является сферой Гаусса с центром в оптическом центре камеры, используемой в качестве аккумулятора. Сегмент линии на изображении соответствует большому кругу на этой сфере, а точка схода на изображении отображается в точку. Сфера Гаусса имеет аккумуляторные ячейки, которые увеличиваются, когда через них проходит большой круг, то есть на изображении сегмент линии пересекает точку схода. С тех пор было сделано несколько модификаций, но одной из наиболее эффективных техник стало использование преобразования Хафа, отображающего параметры сегмента линии в ограниченное пространство. Каскадные преобразования Хафа применялись для определения нескольких точек схода. Процесс отображения из изображения в ограниченные пространства приводит к потере фактических расстояний между сегментами линий и точками. На этапе поиска находится аккумуляторная ячейка с максимальным количеством проходящих через неё сегментов. Затем эти сегменты удаляются, и этап поиска повторяется, пока это число не опустится ниже определенного порога. Благодаря увеличению вычислительной мощности теперь можно находить точки, соответствующие двум или трем взаимно ортогональным направлениям.
The vanishing point theorem is the principal theorem in the science of perspective. It says that the image in a picture plane π of a line L in space, not parallel to the picture, is determined by its intersection with π and its vanishing point. Some authors have used the phrase, "the image of a line includes its vanishing point". Guidobaldo del Monte gave several verifications, and Humphry Ditton called the result the "main and Great Proposition". Brook Taylor wrote the first book in English on perspective in 1714, which introduced the term "vanishing point" and was the first to fully explain the geometry of multipoint perspective, and historian Kirsti Andersen compiled these observations. assumed this space to be a Gaussian sphere centered on the optical center of the camera as an accumulator space. A line segment on the image corresponds to a great circle on this sphere, and the vanishing point in the image is mapped to a point. The Gaussian sphere has accumulator cells that increase when a great circle passes through them, i. e. in the image a line segment intersects the vanishing point. Several modifications have been made since, but one of the most efficient techniques was using the Hough Transform, mapping the parameters of the line segment to the bounded space. Cascaded Hough Transforms have been applied for multiple vanishing points. The process of mapping from the image to the bounded spaces causes the loss of the actual distances between line segments and points. In the search step, the accumulator cell with the maximum number of line segments passing through it is found. This is followed by removal of those line segments, and the search step is repeated until this count goes below a certain threshold. As more computing power is now available, points corresponding to two or three mutually orthogonal directions can be found.
Приложения
Калибровка камеры: Исчезающие точки изображения содержат важную информацию для калибровки камеры. Различные методы калибровки были разработаны с использованием свойств исчезающих точек для определения внутренних и внешних параметров калибровки. 3D-реконструкция: Искусственная среда обладает двумя основными характеристиками – наличие множества параллельных линий в сцене и ортогональных ребер. Исчезающие точки помогают в понимании структуры окружающей среды. Используя наборы параллельных линий в плоскости, можно вычислить ориентацию этой плоскости, опираясь на исчезающие точки. Торре и Коэльо провели обширное исследование применения исчезающих точек для реализации полноценной системы. При допущении, что среда состоит из объектов, имеющих только параллельные или перпендикулярные стороны, так называемой "страны Лего", они восстановили 3D-геометрию сцены, используя исчезающие точки, вычисленные по одному изображению сцены. Аналогичные идеи также применяются в робототехнике, в основном в навигации и автономных транспортных средствах, а также в задачах обнаружения объектов.
Camera calibration: The vanishing points of an image contain important information for camera calibration. Various calibration techniques have been introduced using the properties of vanishing points to find intrinsic and extrinsic calibration parameters. 3D reconstruction: A man made environment has two main characteristics – several lines in the scene are parallel, and a number of edges present are orthogonal. Vanishing points aid in comprehending the environment. Using sets of parallel lines in the plane, the orientation of the plane can be calculated using vanishing points. Torre and Coelho performed extensive investigation in the use of vanishing points to implement a full system. With the assumption that the environment consists of objects with only parallel or perpendicular sides, also called Lego land, using vanishing points constructed in a single image of the scene they recovered the 3D geometry of the scene. Similar ideas are also used in the field of robotics, mainly in navigation and autonomous vehicles, and in areas concerned with object detection.