Анализ напряжений и деформаций в твердых телах

Введение

Математический анализ напряжений в твердых телах. Анализ напряжений (или прочностной анализ) – это инженерная дисциплина, использующая множество методов для определения напряжений и деформаций в материалах и конструкциях, подвергающихся воздействию сил. В механике сплошных сред напряжение – это физическая величина, выражающая внутренние силы, с которыми соседние частицы непрерывного материала действуют друг на друга, а деформация – мера изменения состояния материала. Проще говоря, напряжение можно определить как силу сопротивления на единицу площади, оказываемую телом при деформации. Напряжение – это отношение силы к площади (S = F/A, где S – напряжение, F – внутренняя сила сопротивления, а A – площадь поперечного сечения). Деформация – это отношение изменения длины к первоначальной длине, когда на тело действует внешняя сила (Деформация = изменение длины / первоначальная длина). Прочностной анализ является основной задачей для инженеров-строителей, инженеров-механиков и инженеров-аэрокосмической отрасли, занимающихся проектированием конструкций различных масштабов, таких как туннели, мосты и плотины, корпуса самолетов и ракет, механические детали и даже пластиковые столовые приборы и скрепки. Прочностной анализ также используется при обслуживании таких конструкций и для исследования причин разрушения. Обычно отправной точкой для прочностного анализа является геометрическое описание конструкции, свойства материалов, из которых она изготовлена, способ соединения ее элементов и максимальные или типичные силы, которые предположительно будут приложены к конструкции. Результатом анализа обычно является количественное описание того, как приложенные силы распространяются по всей конструкции, вызывая напряжения, деформации и прогибы всей конструкции и каждого ее компонента. Анализ может учитывать силы, изменяющиеся во времени, такие как вибрации двигателя или нагрузка от движущихся транспортных средств. В этом случае напряжения и деформации также будут функциями времени и пространства. В инженерной практике прочностной анализ часто является инструментом, а не самоцелью; конечной целью является проектирование конструкций и изделий, способных выдерживать заданную нагрузку, с использованием минимального количества материала или в соответствии с другими критериями оптимальности. Прочностной анализ может выполняться с использованием классических математических методов, аналитического математического моделирования или вычислительного моделирования, экспериментальных испытаний или комбинации этих методов. В данной статье термин "прочностной анализ" используется для краткости, но следует понимать, что деформации и прогибы конструкций имеют не меньшее значение, и анализ конструкции может начинаться с расчета прогибов или деформаций и заканчиваться расчетом напряжений.

Mathematical analysis of stresses in solids
Stress–strain analysis (or stress analysis) is an engineering discipline that uses many methods to determine the stresses and strains in materials and structures subjected to forces. In continuum mechanics, stress is a physical quantity that expresses the internal forces that neighboring particles of a continuous material exert on each other, while strain is the measure of the deformation of the material. In simple terms we can define stress as the force of resistance per unit area, offered by a body against deformation. Stress is the ratio of force over area (S = R/A, where S is the stress, R is the internal resisting force and A is the cross sectional area). Strain is the ratio of change in length to the original length, when a given body is subjected to some external force (Strain= change in length÷the original length). Stress analysis is a primary task for civil, mechanical and aerospace engineers involved in the design of structures of all sizes, such as tunnels, bridges and dams, aircraft and rocket bodies, mechanical parts, and even plastic cutlery and staples. Stress analysis is also used in the maintenance of such structures, and to investigate the causes of structural failures. Typically, the starting point for stress analysis are a geometrical description of the structure, the properties of the materials used for its parts, how the parts are joined, and the maximum or typical forces that are expected to be applied to the structure. The output data is typically a quantitative description of how the applied forces spread throughout the structure, resulting in stresses, strains and the deflections of the entire structure and each component of that structure. The analysis may consider forces that vary with time, such as engine vibrations or the load of moving vehicles. In that case, the stresses and deformations will also be functions of time and space. In engineering, stress analysis is often a tool rather than a goal in itself; the ultimate goal being the design of structures and artifacts that can withstand a specified load, using the minimum amount of material or that satisfies some other optimality criterion. Stress analysis may be performed through classical mathematical techniques, analytic mathematical modelling or computational simulation, experimental testing, or a combination of methods. The term stress analysis is used throughout this article for the sake of brevity, but it should be understood that the strains, and deflections of structures are of equal importance and in fact, an analysis of a structure may begin with the calculation of deflections or strains and end with calculation of the stresses.

Общие принципы

Анализ напряжений имеет дело прежде всего с твердыми телами. Изучение напряжений в жидкостях и газах является областью механики жидкости. Анализ напряжений использует макроскопический подход к материалам, характерный для механики сплошных сред, а именно, что все свойства материалов однородны при достаточно малых масштабах. Таким образом, даже самая маленькая частица, рассматриваемая при анализе напряжений, содержит огромное количество атомов, и ее свойства являются усредненными свойствами этих атомов. При анализе напряжений обычно не учитываются физические причины сил или точная природа материалов. Вместо этого предполагается, что напряжения связаны с деформацией материала известными конститутивными уравнениями. Согласно законам Ньютона, любые внешние силы, действующие на систему, должны уравновешиваться внутренними силами реакции, которые сосуществуют с полями напряжений, уравновешивающими внешние силы. В рамках линейной упругости их наличие необходимо для обеспечения совместимости деформаций и перемещений, а при предельном анализе – для максимизации несущей способности конструкции или компонента. Такие предварительные напряжения могут возникать по множеству физических причин, либо в процессе изготовления (например, при экструзии, литье или холодной обработке), либо после изготовления (например, из-за неравномерного нагрева, изменения влажности или химического состава). Однако, если можно считать, что система ведет себя линейно относительно нагрузки и отклика, эффект предварительной нагрузки можно учесть, сложив результаты анализа предварительно нагруженной и непредварительно нагруженной конструкций. Если линейность не выполняется, любое предварительное напряжение может повлиять на распределение внутренних сил, вызванных приложенными нагрузками (например, изменяя эффективную жесткость материала), или даже привести к неожиданному разрушению материала. По этим причинам были разработаны различные методы для предотвращения или уменьшения предварительных напряжений, такие как отжиг холодно обработанного стекла и металлических деталей, компенсационные швы в зданиях и роликовые опоры для мостов.

Stress analysis is specifically concerned with solid objects. The study of stresses in liquids and gases is the subject of fluid mechanics. Stress analysis adopts the macroscopic view of materials characteristic of continuum mechanics, namely that all properties of materials are homogeneous at small enough scales. Thus, even the smallest particle considered in stress analysis still contains an enormous number of atoms, and its properties are averages of the properties of those atoms. In stress analysis one normally disregards the physical causes of forces or the precise nature of the materials. Instead, one assumes that the stresses are related to strain of the material by known constitutive equations. By Newton's laws of motion, any external forces that act on a system must be balanced by internal reaction forces, and they co exist with the stress fields that balance the external forces. In linear elasticity, their presence is required to satisfy the strain/displacement compatibility requirements and in limit analysis their presence is required to maximise the load carrying capacity of the structure or component. Such built in stress may occur due to many physical causes, either during manufacture (in processes like extrusion, casting or cold working), or after the fact (for example because of uneven heating, or changes in moisture content or chemical composition). However, if the system can be assumed to behave in a linear fashion with respect to the loading and response of the system, then effect of preload can be accounted for by adding the results of a preloaded structure and the same non preloaded structure. If linearity cannot be assumed, however, any built in stress may affect the distribution of internal forces induced by applied loads (for example, by changing the effective stiffness of the material) or even cause an unexpected material failure. For these reasons, a number of techniques have been developed to avoid or reduce built in stress, such as annealing of cold worked glass and metal parts, expansion joints in buildings, and roller joints for bridges.

Упрощения

Анализ напряжений упрощается, когда физические размеры и распределение нагрузок позволяют рассматривать конструкцию как одномерную или двумерную. При анализе моста его трехмерная структура может быть идеализирована как плоская, если все силы действуют в плоскости ферм моста. Более того, каждый элемент ферменной конструкции может рассматриваться как одномерный элемент, с силами, действующими вдоль оси каждого элемента. В этом случае дифференциальные уравнения сводятся к конечному набору уравнений с конечным числом неизвестных. Если можно предположить, что распределение напряжений является равномерным (или предсказуемым, или несущественным) в одном направлении, то можно использовать предположение о плоском напряженном состоянии и плоской деформации, и уравнения, описывающие поле напряжений, будут являться функцией только двух координат, а не трех. Даже при предположении линейно-упругого поведения материала, связь между тензорами напряжений и деформаций обычно выражается тензором жесткости четвертого порядка с 21 независимым коэффициентом (симметричной матрицей жесткости 6 × 6). Такая сложность может потребоваться для общих анизотропных материалов, но для многих распространенных материалов ее можно упростить. Для ортотропных материалов, таких как древесина, чья жесткость симметрична относительно каждой из трех ортогональных плоскостей, достаточно девяти коэффициентов для выражения зависимости между напряжением и деформацией. Для изотропных материалов эти коэффициенты сокращаются всего до двух. Можно заранее определить, что в некоторых частях системы напряжение будет определенного типа, например, одноосное растяжение или сжатие, простое сдвиговое напряжение, изотропное сжатие или растяжение, кручение, изгиб и т.д. В этих частях поле напряжений может быть представлено менее чем шестью числами, и, возможно, только одним.

Решение уравнений

В любом случае, для двух- или трехмерных областей необходимо решать систему частных дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Аналитические решения дифференциальных уравнений (в замкнутой форме) могут быть получены, когда геометрия, определяющие соотношения и граничные условия достаточно просты. Для более сложных задач обычно приходится прибегать к численным методам, таким как метод конечных элементов, метод конечных разностей и метод граничных элементов.

Передача нагрузки

Оценка нагрузок и напряжений в конструкциях направлена на определение пути передачи нагрузки. Нагрузки передаются посредством физического контакта между отдельными элементами и внутри самой конструкции. В простых конструкциях передачу нагрузки можно определить визуально или с помощью логического анализа. Для более сложных конструкций могут потребоваться более сложные методы, такие как теоретическая механика сплошных сред или численные методы. К численным методам относится метод прямой жёсткости, также известный как метод конечных элементов. Задача состоит в определении критических напряжений в каждой детали и их сравнении с прочностью материала (см. сопротивление материалов). В случае поломки детали в процессе эксплуатации проводится инженерно-судебная экспертиза или анализ причин отказа для выявления слабых мест, при этом сломанные детали анализируются с целью установления причины или причин поломки. Цель метода – выявить наиболее слабое звено в пути передачи нагрузки. Если именно эта деталь и вышла из строя, это может подтвердить независимые данные о причинах поломки. В противном случае необходимо искать другое объяснение, например, дефектную деталь с более низким пределом прочности на разрыв, чем требуется.

Графическое представление напряжения в точке

Круг Мора, эллипсоид напряжений Ламе (вместе с поверхностью главных напряжений) и квадрика напряжений Коши — это двумерные графические представления состояния напряжений в точке. Они позволяют графически определять величину тензора напряжений в данной точке для всех плоскостей, проходящих через эту точку. Круг Мора — наиболее распространенный графический метод. Круг Мора, названный в честь Кристиана Отто Мора, является геометрическим местом точек, представляющих состояние напряжений на отдельных плоскостях при всех их ориентациях. Абсцисса, σ, и ордината, τ, каждой точки на круге являются компонентами нормального и касательного напряжения, соответственно, действующими на конкретную плоскость сечения с единичным вектором направления с компонентами.

Эллипсоид напряжения Ламе

Поверхность эллипсоида представляет собой геометрическое место конечных точек всех векторов напряжений, действующих на всех плоскостях, проходящих через заданную точку в континууме. Иными словами, концы всех векторов напряжений в заданной точке континуума лежат на поверхности эллипсоида напряжений, то есть радиус-вектор из центра эллипсоида, расположенного в рассматриваемой материальной точке, до точки на поверхности эллипсоида равен вектору напряжений на некоторой плоскости, проходящей через эту точку. В двумерном случае поверхность представляется эллипсом (рисунок прилагается).

Квадрическая напряженность Коши

Квадрик напряжений Коши, также называемый поверхностью напряжений, представляет собой поверхность второго порядка, отображающую изменение вектора нормальных напряжений при изменении ориентации плоскостей, проходящих через заданную точку. Полное состояние напряжений в теле при определенной деформированной конфигурации, то есть в конкретный момент времени во время движения тела, подразумевает знание шести независимых компонент тензора напряжений или трех главных напряжений в каждой материальной точке тела в этот момент времени. Однако численный и аналитический анализ позволяют вычислить тензор напряжений лишь в конечном числе дискретных материальных точек. Для графического представления в двух измерениях этой частичной картины поля напряжений можно использовать различные наборы линий уровня: это система кривых, касающихся в каждой материальной точке главных осей напряжений (см. рисунок). Изоклины – это кривые, на которых главные оси образуют постоянный угол с заданным фиксированным направлением отсчета. Эти кривые также могут быть получены непосредственно методами фотоупругости. Линии скольжения – это кривые, на которых напряжение сдвига достигает максимума.