Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Механика континуума – это раздел физики, изучающий поведение материалов, моделируемых как сплошные среды.
Branch of physics which studies the behavior of materials modeled as continuous media
Механика континуума является разделом механики, который рассматривает деформацию и передачу сил в материалах, моделируемых как сплошная среда (также называемая континуумом), а не как отдельные частицы. Французский математик Огюстен Луи Коши первым сформулировал подобные модели в XIX веке. Механика континуума имеет дело с деформируемыми телами, в отличие от твердых тел. Модель континуума предполагает, что вещество объекта полностью заполняет занимаемое им пространство. Игнорируя тот факт, что материя состоит из атомов, это обеспечивает достаточно точное описание материи в масштабах, значительно превышающих межмолекулярные расстояния. Концепция сплошной среды позволяет интуитивно анализировать макроскопическое вещество с помощью дифференциальных уравнений, описывающих его поведение в соответствии с физическими законами, такими как закон сохранения массы, закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Информация о конкретном материале выражается в конститутивных соотношениях. Механика континуума рассматривает физические свойства твердых тел и жидкостей независимо от конкретной системы координат, в которой они наблюдаются. Эти свойства представлены тензорами – математическими объектами, характеризующимися независимостью от систем координат. Это позволяет определять физические свойства в любой точке континуума с использованием математически удобных непрерывных функций. Теории упругости, пластичности и гидродинамики основаны на концепциях механики континуума.
Continuum mechanics is a branch of mechanics that deals with the deformation of and transmission of forces through materials modeled as a continuous medium (also called a continuum) rather than as discrete particles. The French mathematician Augustin Louis Cauchy was the first to formulate such models in the 19th century. Continuum mechanics deals with deformable bodies, as opposed to rigid bodies. A continuum model assumes that the substance of the object completely fills the space it occupies. While ignoring the fact that matter is made of atoms, this provides a sufficiently accurate description of matter on length scales much greater than that of inter atomic distances. The concept of a continuous medium allows for intuitive analysis of bulk matter by using differential equations that describe the behavior of such matter according to physical laws, such as mass conservation, momentum conservation, and energy conservation. Information about the specific material is expressed in constitutive relationships. Continuum mechanics treats the physical properties of solids and fluids independently of any particular coordinate system in which they are observed. These properties are represented by tensors, which are mathematical objects with the salient property of being independent of coordinate systems. This permits definition of physical properties at any point in the continuum, according to mathematically convenient continuous functions. The theories of elasticity, plasticity and fluid mechanics are based on the concepts of continuum mechanics.
Понятие континуума
Концепция континуума является основой математического аппарата для изучения крупномасштабных сил и деформаций в материалах. Несмотря на то, что материалы состоят из дискретных атомов и молекул, разделенных пустым пространством или микроскопическими трещинами и кристаллическими дефектами, физические явления часто можно моделировать, рассматривая вещество, распределенное в некоторой области пространства. Континуум – это тело, которое можно непрерывно разделять на бесконечно малые элементы с локальными свойствами материала, определенными в любой конкретной точке. Таким образом, свойства материала в целом могут быть описаны непрерывными функциями, а их изменение во времени изучается с помощью математического анализа. Помимо предположения о непрерывности, в изучении механики континуума часто используются два других независимых предположения: однородность (предположение об идентичных свойствах во всех точках) и изотропия (предположение об инвариантности векторных свойств относительно направления). Если эти вспомогательные предположения не применимы глобально, материал может быть разделен на участки, где они применимы, для упрощения анализа. В более сложных случаях одно или оба этих предположения могут быть отброшены. В таких случаях для решения дифференциальных уравнений, описывающих изменение свойств материала, часто используются вычислительные методы.
The concept of a continuum underlies the mathematical framework for studying large scale forces and deformations in materials. Although materials are composed of discrete atoms and molecules, separated by empty space or microscopic cracks and crystallographic defects, physical phenomena can often be modeled by considering a substance distributed throughout some region of space. A continuum is a body that can be continually sub divided into infinitesimal elements with local material properties defined at any particular point. Properties of the bulk material can therefore be described by continuous functions, and their evolution can be studied using the mathematics of calculus. Apart from the assumption of continuity, two other independent assumptions are often employed in the study of continuum mechanics. These are homogeneity (assumption of identical properties at all locations) and isotropy (assumption of directionally invariant vector properties). If these auxiliary assumptions are not globally applicable, the material may be segregated into sections where they are applicable in order to simplify the analysis. For more complex cases, one or both of these assumptions can be dropped. In these cases, computational methods are often used to solve the differential equations describing the evolution of material properties.
Основные направления
Дополнительная область механики континуума охватывает эластомерные пены, демонстрирующие примечательное гиперболическое соотношение между напряжением и деформацией. Эластомер является истинным континуумом, однако однородное распределение пор наделяет его необычными свойствами.
An additional area of continuum mechanics comprises elastomeric foams, which exhibit a curious hyperbolic stress strain relationship. The elastomer is a true continuum, but a homogeneous distribution of voids gives it unusual properties.
Силы в континууме
Твердое тело – это деформируемое тело, обладающее прочностью на сдвиг, то есть твердое тело способно сопротивляться сдвиговым силам (силам, параллельным поверхности материала, на которую они действуют). Жидкости же не сопротивляются сдвиговым силам. В соответствии с классической динамикой Ньютона и Эйлера, движение материального тела вызывается действием внешних сил, которые считаются двумя типов: поверхностные силы и силы, действующие на объем тела. Таким образом, общая сила, приложенная к телу или его части, может быть выражена следующим образом:
A solid is a deformable body that possesses shear strength, sc. a solid can support shear forces (forces parallel to the material surface on which they act). Fluids, on the other hand, do not sustain shear forces. Following the classical dynamics of Newton and Euler, the motion of a material body is produced by the action of externally applied forces which are assumed to be of two kinds: surface forces and body forces Thus, the total force applied to a body or to a portion of the body can be expressed as:
Действительность
Валидность предположения о континууме может быть проверена теоретическим анализом, в котором либо выявляется четкая периодичность, либо существует статистическая однородность и эргодичность микроструктуры. В частности, гипотеза континуума опирается на концепции репрезентативного элементарного объема и разделения масштабов, основанного на условии Хилла–Манделя. Это условие устанавливает связь между точкой зрения экспериментатора и теоретика в отношении конститутивных уравнений (линейных и нелинейных упругих/неупругих или связанных полей), а также предоставляет способ пространственного и статистического усреднения микроструктуры. Когда разделение масштабов не выполняется, или когда требуется построить континуум с более мелким разрешением, чем размер репрезентативного элемента объема (RVE), используется статистический элемент объема (SVE), что приводит к случайным полям континуума. Эти поля, в свою очередь, служат микромеханической основой для стохастических конечных элементов (SFE). Уровни SVE и RVE связывают механику континуума со статистической механикой. Экспериментально RVE может быть определен только при условии пространственной однородности конституционного отклика.
The validity of the continuum assumption may be verified by a theoretical analysis, in which either some clear periodicity is identified or statistical homogeneity and ergodicity of the microstructure exist. More specifically, the continuum hypothesis hinges on the concepts of a representative elementary volume and separation of scales based on the Hill–Mandel condition. This condition provides a link between an experimentalist's and a theoretician's viewpoint on constitutive equations (linear and nonlinear elastic/inelastic or coupled fields) as well as a way of spatial and statistical averaging of the microstructure. When the separation of scales does not hold, or when one wants to establish a continuum of a finer resolution than the size of the representative volume element (RVE), a statistical volume element (SVE) is employed, which results in random continuum fields. The latter then provide a micromechanics basis for stochastic finite elements (SFE). The levels of SVE and RVE link continuum mechanics to statistical mechanics. Experimentally, the RVE can only be evaluated when the constitutive response is spatially homogenous.