Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая модель для описания деформации материала под напряжением
Mathematical model for describing material deformation under stress
В механике континуума теория малых деформаций – это математический подход к описанию деформации твердого тела, в котором перемещения частиц материала считаются значительно меньшими (фактически, бесконечно малыми) по сравнению с любым характерным размером тела; таким образом, геометрия тела и определяющие свойства материала (например, плотность и жесткость) в каждой точке пространства могут считаться неизменными в процессе деформации. При этом допущении уравнения механики континуума существенно упрощаются. Этот подход также может называться теорией малых перемещений или теорией малых градиентов перемещений. Он противопоставляется теории больших деформаций, где делается обратное предположение. Теория малых деформаций широко используется в гражданском и машиностроении для анализа напряжений в конструкциях, изготовленных из относительно жестких упругих материалов, таких как бетон и сталь, поскольку одной из основных целей при проектировании таких конструкций является минимизация их деформации под типичными нагрузками. Однако это приближение требует осторожности применительно к тонким гибким телам, таким как стержни, пластины и оболочки, которые могут испытывать значительные повороты, что делает результаты ненадежными.
In continuum mechanics, the infinitesimal strain theory is a mathematical approach to the description of the deformation of a solid body in which the displacements of the material particles are assumed to be much smaller (indeed, infinitesimally smaller) than any relevant dimension of the body; so that its geometry and the constitutive properties of the material (such as density and stiffness) at each point of space can be assumed to be unchanged by the deformation. With this assumption, the equations of continuum mechanics are considerably simplified. This approach may also be called small deformation theory, small displacement theory, or small displacement gradient theory. It is contrasted with the finite strain theory where the opposite assumption is made. The infinitesimal strain theory is commonly adopted in civil and mechanical engineering for the stress analysis of structures built from relatively stiff elastic materials like concrete and steel, since a common goal in the design of such structures is to minimize their deformation under typical loads. However, this approximation demands caution in the case of thin flexible bodies, such as rods, plates, and shells which are susceptible to significant rotations, thus making the results unreliable.
Плоскость напряжения
В реальных инженерных компонентах напряжение (и деформация) являются 3D тензорами, но в призматических конструкциях, таких как длинный металлический слиток, длина конструкции значительно больше, чем другие два измерения. Деформации, связанные с длиной, то есть нормальная деформация и деформации сдвига (если длина направлена вдоль оси 3), ограничены окружающим материалом и малы по сравнению с деформациями поперечного сечения. В этом случае, условие плоской деформации является допустимым приближением. Тензор деформации для плоской деформации записывается как:
In real engineering components, stress (and strain) are 3 D tensors but in prismatic structures such as a long metal billet, the length of the structure is much greater than the other two dimensions. The strains associated with length, i. e., the normal strain and the shear strains and (if the length is the 3 direction) are constrained by nearby material and are small compared to the cross sectional strains. Plane strain is then an acceptable approximation. The strain tensor for plane strain is written as:
где двойное подчеркивание указывает на тензор второго порядка. Это состояние деформации называется плоской деформацией. Соответствующий тензор напряжения имеет вид:
in which the double underline indicates a second order tensor. This strain state is called plane strain. The corresponding stress tensor is:
где ненулевое необходимо для поддержания ограничения . Этот член напряжения может быть временно исключен из анализа, оставив только составляющие в плоскости, что фактически сводит 3D задачу к гораздо более простой 2D задаче.
in which the non zero is needed to maintain the constraint This stress term can be temporarily removed from the analysis to leave only the in plane terms, effectively reducing the 3 D problem to a much simpler 2 D problem.
Антиплоскость
Антиплоскостное напряженно-деформированное состояние – это еще одно особое состояние деформации, которое может возникать в теле, например, в области вблизи винтового дислокации. Тензор деформаций для антиплоскостного состояния задается следующим образом:
Antiplane strain is another special state of strain that can occur in a body, for instance in a region close to a screw dislocation. The strain tensor for antiplane strain is given by