Эудженио Бельтрами: итальянский математик, работы в области дифференциальной геометрии и математической физики. Модель Бельтрами-Клейна, сингулярное разложение матриц.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Итальянский математик
Italian mathematician
Эудженио Белтрами (16 ноября 1835 – 18 февраля 1900) – итальянский математик, известный своими работами в области дифференциальной геометрии и математической физики. Его работы отличались особой ясностью изложения. Он первым доказал непротиворечивость неевклидовой геометрии, представив её модель на поверхности постоянной кривизны – псевдосфере, а также внутри n-мерной единичной сферы, известной как модель Белтрами — Клейна. Он также разработал разложение по сингулярным значениям для матриц, которое впоследствии неоднократно было открыто заново. Использование Белтрами дифференциального исчисления для решения задач математической физики косвенно повлияло на развитие тензорного исчисления Грегорио Риччи Курбастро и Туллио Леви-Чивита.
Eugenio Beltrami (16 November 1835 – 18 February 1900) was an Italian mathematician notable for his work concerning differential geometry and mathematical physics. His work was noted especially for clarity of exposition. He was the first to prove consistency of non Euclidean geometry by modeling it on a surface of constant curvature, the pseudosphere, and in the interior of an n dimensional unit sphere, the so called Beltrami–Klein model. He also developed singular value decomposition for matrices, which has been subsequently rediscovered several times. Beltrami's use of differential calculus for problems of mathematical physics indirectly influenced development of tensor calculus by Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita.
Жизнь
Белтрами родился в 1835 году в Кремоне (Ломбардия), тогда входившей в состав Австрийской империи, а ныне – в состав Италии. Его родителями были художники Джованни Белтрами и венецианка Элиза Бароцци. Он начал изучать математику в Павийском университете в 1853 году, но был исключен из колледжа Гислиери в 1856 году из-за своих политических убеждений – он симпатизировал движению Рисоржименто. В это время на него оказали влияние и обучали Франческо Бриоски. Из-за финансовых трудностей он был вынужден прервать учёбу и следующие несколько лет работал секретарем в железнодорожной компании Ломбардия-Венеция. В 1862 году он был назначен профессором Болонского университета, в том же году опубликовав свою первую научную работу. На протяжении жизни Белтрами занимал профессорские должности в университетах Пизы, Рима и Павии. С 1891 года и до конца жизни Белтрами жил в Риме. В 1898 году он стал президентом Академии деи Линчеи, а в 1899 году – сенатором Королевства Италия.
Beltrami was born in 1835 in Cremona (Lombardy), then a part of the Austrian Empire, and now part of Italy. Both parents were artists Giovanni Beltrami and the Venetian Elisa Barozzi. He began studying mathematics at University of Pavia in 1853, but was expelled from Ghislieri College in 1856 due to his political opinions—he was sympathetic with the Risorgimento. During this time he was taught and influenced by Francesco Brioschi. He had to discontinue his studies because of financial hardship and spent the next several years as a secretary working for the Lombardy–Venice railroad company. He was appointed to the University of Bologna as a professor in 1862, the year he published his first research paper. Throughout his life, Beltrami had various professorial jobs at the universities of Pisa, Rome and Pavia. From 1891 until the end of his life, Beltrami lived in Rome. He became the president of the Accademia dei Lincei in 1898 and a senator of the Kingdom of Italy in 1899.
Вклад в неевклидовой геометрии
В 1868 году Белтрами опубликовал две записки (написанные на итальянском языке; французские переводы Ж. Гуэля появились в 1869 году), посвященные непротиворечивости и интерпретациям неевклидовой геометрии Яноша Бояи и Николая Лобачевского. В своем "Опыте об интерпретации неевклидовой геометрии" Белтрами предположил, что эта геометрия может быть реализована на поверхности с постоянной отрицательной кривизной, псевдосфере. Для концепции Белтрами линии геометрии представлены геодезическими на псевдосфере, а теоремы неевклидовой геометрии могут быть доказаны в обычном трехмерном евклидовом пространстве, а не выведены аксиоматическим путем, как это сделали Лобачевский и Бояи ранее. В 1840 году Фердинанд Миндинг уже рассматривал геодезические треугольники на псевдосфере и заметил, что соответствующие "тригонометрические формулы" получаются из соответствующих формул сферической тригонометрии путем замены обычных тригонометрических функций на гиперболические функции; это было далее развито Дельфино Кодацци в 1857 году, но, по-видимому, ни один из них не заметил связи с работами Лобачевского. Таким образом, Белтрами попытался продемонстрировать, что двумерная неевклидова геометрия столь же действительна, как и евклидова геометрия пространства, и, в частности, что постулат о параллельных прямых Евклида нельзя вывести из других аксиом евклидовой геометрии. Часто утверждается, что это доказательство было неполным из-за сингулярности псевдосферы, что означает, что геодезические нельзя бесконечно продолжать. Однако Джон Стиллвелл отмечает, что Белтрами, должно быть, хорошо знал об этой трудности, что также проявляется в том, что псевдосфера топологически является цилиндром, а не плоскостью, и он посвятил часть своей записки разработке способа ее обойти. Выбрав подходящие координаты, Белтрами показал, как метрика на псевдосфере может быть перенесена на единичный диск и что сингулярность псевдосферы соответствует гороциклу на неевклидовой плоскости. С другой стороны, во введении к своей записке Белтрами утверждает, что невозможно обосновать "остальную часть теории Лобачевского", то есть неевклидову геометрию пространства, этим методом. Во второй записке, опубликованной в том же году (1868), "Фундаментальная теория пространств постоянной кривизны", Белтрами продолжил эту логику и дал абстрактное доказательство равносогласованности гиперболической и евклидовой геометрии для любого измерения. Он достиг этого, представив несколько моделей неевклидовой геометрии, которые теперь известны как модель Белтрами–Клейна, модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре, а также преобразования, которые их связывают. Для полуплоскостной модели Белтрами привел замечание Жозефа Лиувилля в трактате Гаспара Монжа о дифференциальной геометрии. Белтрами также показал, что n-мерная евклидова геометрия реализуется на горосфере (n + 1)-мерного гиперболического пространства, поэтому логическая связь между непротиворечивостью евклидовой и неевклидовой геометрий симметрична. Белтрами признал влияние новаторской лекции Бернарда Римана "Об основаниях геометрии" (1854; опубликована посмертно в 1868). Хотя сегодня "Опыт" Белтрами признается очень важным для развития неевклидовой геометрии, его восприятие в то время было менее восторженным. Луиджи Кремона возражал против предполагаемого кругового рассуждения, что даже вынудило Белтрами отложить публикацию "Опыта" на год. Впоследствии Феликс Клейн не признал приоритет Белтрами в построении проективной модели диска неевклидовой геометрии. Эту реакцию можно отчасти объяснить новизной рассуждений Белтрами, которые были схожи с идеями Римана относительно абстрактных многообразий. Ж. Гуэль опубликовал доказательство Белтрами в своем французском переводе работ Лобачевского и Бояи.
In 1868 Beltrami published two memoirs (written in Italian; French translations by J. Hoüel appeared in 1869) dealing with consistency and interpretations of non Euclidean geometry of János Bolyai and Nikolai Lobachevsky. In his "Essay on an interpretation of non Euclidean geometry", Beltrami proposed that this geometry could be realized on a surface of constant negative curvature, a pseudosphere. For Beltrami's concept, lines of the geometry are represented by geodesics on the pseudosphere and theorems of non Euclidean geometry can be proved within ordinary three dimensional Euclidean space, and not derived in an axiomatic fashion, as Lobachevsky and Bolyai had done previously. In 1840, Ferdinand Minding already considered geodesic triangles on the pseudosphere and remarked that the corresponding "trigonometric formulas" are obtained from the corresponding formulas of spherical trigonometry by replacing the usual trigonometric functions with hyperbolic functions; this was further developed by Delfino Codazzi in 1857, but apparently neither of them noticed the association with Lobachevsky's work. In this way, Beltrami attempted to demonstrate that two dimensional non Euclidean geometry is as valid as the Euclidean geometry of the space, and in particular, that Euclid's parallel postulate could not be derived from the other axioms of Euclidean geometry. It is often stated that this proof was incomplete due to the singularities of the pseudosphere, which means that geodesics could not be extended indefinitely. However, John Stillwell remarks that Beltrami must have been well aware of this difficulty, which is also manifested by the fact that the pseudosphere is topologically a cylinder, and not a plane, and he spent a part of his memoir designing a way around it. By a suitable choice of coordinates, Beltrami showed how the metric on the pseudosphere can be transferred to the unit disk and that the singularity of the pseudosphere corresponds to a horocycle on the non Euclidean plane. On the other hand, in the introduction to his memoir, Beltrami states that it would be impossible to justify "the rest of Lobachevsky's theory", i. e., the non Euclidean geometry of space, by this method. In the second memoir published during the same year (1868), "Fundamental theory of spaces of constant curvature", Beltrami continued this logic and gave an abstract proof of equiconsistency of hyperbolic and Euclidean geometry for any dimension. He accomplished this by introducing several models of non Euclidean geometry that are now known as the Beltrami–Klein model, the Poincaré disk model, and the Poincaré half plane model, together with transformations that relate them. For the half plane model, Beltrami cited a note by Joseph Liouville in the treatise of Gaspard Monge on differential geometry. Beltrami also showed that n dimensional Euclidean geometry is realized on a horosphere of the (n + 1) dimensional hyperbolic space, so the logical relation between consistency of the Euclidean and the non Euclidean geometries is symmetric. Beltrami acknowledged the influence of Bernhard Riemann's groundbreaking Habilitation lecture "On the hypotheses on which geometry is based" (1854; published posthumously in 1868). Although today Beltrami's "Essay" is recognized as very important for the development of non Euclidean geometry, the reception at the time was less enthusiastic. Luigi Cremona objected to perceived circular reasoning, which even forced Beltrami to delay the publication of the "Essay" by one year. Subsequently, Felix Klein failed to acknowledge Beltrami's priority in construction of the projective disk model of the non Euclidean geometry. This reaction can be attributed in part to the novelty of Beltrami's reasoning, which was similar to the ideas of Riemann concerning abstract manifolds. J. Hoüel published Beltrami's proof in his French translation of works of Lobachevsky and Bolyai.
Работы
Opere matematiche di Eugenio Beltrami pubblicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma (тома 1–2) (U. Hoepli, Milano, 1902–1920)
То же издание, тома 1–4.
Opere matematiche di Eugenio Beltrami pubblicate per cura della Facoltà di scienze della r. Università di Roma (volumes 1–2) (U. Hoepli, Milano, 1902–1920)
Same edition, vols. 1–4