Введение
Каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство. Теоремы вложения Нэша (или теоремы о вложении), названные в честь Джона Форбса Нэша-младшего, утверждают, что каждое риманово многообразие может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство. Изометричность означает сохранение длины каждого пути. Например, изгиб, но не растяжение и не разрыв страницы бумаги дает изометрическое вложение страницы в евклидово пространство, поскольку кривые, нарисованные на странице, сохраняют ту же длину дуги, независимо от того, как страница изгибается. Первая теорема относится к непрерывно дифференцируемым (C1) вложениям, а вторая – к аналитическим или гладким вложениям класса Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. Эти две теоремы существенно отличаются друг от друга. Первая теорема имеет очень простое доказательство, но приводит к некоторым контринтуитивным выводам, в то время как вторая теорема имеет техническое и контринтуитивное доказательство, но приводит к менее удивительным результатам. Теорема C1 была опубликована в 1954 году, теорема Ck – в 1956 году. Реально-аналитическая теорема была впервые рассмотрена Нэшем в 1966 году; его аргумент был значительно упрощен (локальная версия этого результата была доказана Эли Картаном и Морисом Жанетом в 1920-х годах). В случае реальной аналитики операторы сглаживания (см. ниже) в аргументе обратной функции Нэша могут быть заменены оценками Коши. Доказательство Нэша для случая Ck впоследствии было экстраполировано в принцип h и теорему о неявных функциях Нэша — Мозера. Более простое доказательство второй теоремы вложения Нэша было получено, когда набор нелинейных частных дифференциальных уравнений был сведен к эллиптической системе, к которой можно было применить теорему о сжатом отображении.
The Nash embedding theorems (or imbedding theorems), named after John Forbes Nash Jr., state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. Isometric means preserving the length of every path. For instance, bending but neither stretching nor tearing a page of paper gives an isometric embedding of the page into Euclidean space because curves drawn on the page retain the same arclength however the page is bent. The first theorem is for continuously differentiable (C1) embeddings and the second for embeddings that are analytic or smooth of class Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. These two theorems are very different from each other. The first theorem has a very simple proof but leads to some counterintuitive conclusions, while the second theorem has a technical and counterintuitive proof but leads to a less surprising result. The C1 theorem was published in 1954, the Ck theorem in 1956. The real analytic theorem was first treated by Nash in 1966; his argument was simplified considerably by (A local version of this result was proved by Élie Cartan and Maurice Janet in the 1920s.) In the real analytic case, the smoothing operators (see below) in the Nash inverse function argument can be replaced by Cauchy estimates. Nash's proof of the Ck case was later extrapolated into the h principle and Nash–Moser implicit function theorem. A simpler proof of the second Nash embedding theorem was obtained by who reduced the set of nonlinear partial differential equations to an elliptic system, to which the contraction mapping theorem could be applied.
Теорема Нэша Койпера (встраивающая теорема)
При наличии m-мерного риманова многообразия (M, g), изометрическое вложение является непрерывно дифференцируемым топологическим вложением f: M → ℝⁿ, таким, что обратное отображение евклидовой метрики равно g. В аналитическом плане это можно рассматривать (относительно гладкой координатной диаграммы x) как систему многих частных дифференциальных уравнений первого порядка для n неизвестных (действительнозначных) функций: Если n меньше m, то уравнений больше, чем неизвестных. С этой точки зрения, существование изометрических вложений, установленное следующей теоремой, считается удивительным. Теорема Нэша — Куйпера. Пусть (M, g) является m-мерным римановым многообразием и f: M → ℝⁿ — короткое гладкое вложение (или погружение) в евклидово пространство ℝⁿ, где n ≥ m + 1. Это отображение не обязательно должно быть изометрическим. Тогда существует последовательность непрерывно дифференцируемых изометрических вложений (или погружений) M → ℝⁿ, сохраняющих метрику g, которые равномерно сходятся к f. Теорема была первоначально доказана Джоном Нэшем с более сильным предположением n ≥ m + 2. Его метод был модифицирован Николаасом Куйпером для получения вышеуказанной теоремы. Изометрические вложения, полученные теоремой Нэша — Куйпера, часто считаются неинтуитивными и патологическими. Они часто не являются гладко дифференцируемыми. Например, хорошо известная теорема Давида Гильберта утверждает, что гиперболическую плоскость нельзя гладко изометрически погрузить в ℝ³. Любое многообразие Эйнштейна с отрицательной скалярной кривизной нельзя гладко изометрически погрузить как гиперповерхность, и теорема Шиин Шеня Черна и Куйпера даже утверждает, что любое замкнутое m-мерное многообразие с неположительной сечной кривизной нельзя гладко изометрически погрузить в ℝ^(2m–1). Кроме того, некоторые гладкие изометрические вложения демонстрируют явления жесткости, которые нарушаются в значительной степени неограниченным выбором f в теореме Нэша — Куйпера. Например, образ любого гладкого изометрического гиперповерхностного погружения круглой сферы должен сам быть круглой сферой. Напротив, теорема Нэша — Куйпера гарантирует существование непрерывно дифференцируемых изометрических гиперповерхностных погружений круглой сферы, которые произвольно близки к (например) топологическому вложению сферы в виде небольшого эллипсоида. Любое замкнутое и ориентированное двумерное многообразие можно гладко вложить в ℝ³. Любое такое вложение можно масштабировать на произвольно малую константу, чтобы оно стало коротким относительно любой заданной римановой метрики на поверхности. Из теоремы Нэша — Куйпера следует, что существуют непрерывно дифференцируемые изометрические вложения любой такой римановой поверхности, где радиус описанной сферы произвольно мал. Напротив, никакая отрицательно искривленная замкнутая поверхность не может быть даже гладко изометрически вложена в ℝ³. Более того, для любого гладкого (или даже C²) изометрического вложения произвольной замкнутой римановой поверхности существует количественная (положительная) нижняя граница радиуса описанной сферы в терминах площади поверхности и кривизны вложенной метрики. В более высоких размерностях, как следует из теоремы вложения Уитни, теорема Нэша — Куйпера показывает, что любое замкнутое m-мерное риманово многообразие допускает непрерывно дифференцируемое изометрическое вложение в произвольно малую окрестность в 2m-мерном евклидовом пространстве. Хотя теорема Уитни также применима к некомпактным многообразиям, такие вложения нельзя просто масштабировать на малую константу, чтобы они стали короткими. Нэш доказал, что каждое m-мерное риманово многообразие допускает непрерывно дифференцируемое изометрическое вложение в ℝ^(2m+1). В то время работы Нэша его теорема считалась своего рода математическим курьезом. Сам результат не нашел широкого применения. Однако метод доказательства Нэша был адаптирован Камилло Де Леллисом и Ласло Секелихиди для построения решений с низкой регулярностью, с предписанной кинетической энергией, уравнений Эйлера из математического изучения гидродинамики. В аналитическом плане уравнения Эйлера имеют формальное сходство с уравнениями изометрического вложения, через квадратичную нелинейность в первых производных неизвестной функции. Идеи доказательства Нэша были абстрагированы Михаилом Громовым до принципа выпуклой интеграции, с соответствующим h-принципом. Это было применено Стефаном Мюллером и Владимиром Швераком к девятнадцатой проблеме Гильберта, построив минимизаторы минимальной дифференцируемости в вариационном исчислении.
If n is less than , then there are more equations than unknowns. From this perspective, the existence of isometric embeddings given by the following theorem is considered surprising. Nash–Kuiper theorem. Let (M, g) be an m dimensional Riemannian manifold and f: M → ℝ^(n) a short smooth embedding (or immersion) into Euclidean space ℝ^(n), where n ≥ m + 1. This map is not required to be isometric. Then there is a sequence of continuously differentiable isometric embeddings (or immersions) M → ℝ^(n) of g which converge uniformly to f.
The theorem was originally proved by John Nash with the stronger assumption n ≥ m + 2. His method was modified by Nicolaas Kuiper to obtain the theorem above. The isometric embeddings produced by the Nash–Kuiper theorem are often considered counterintuitive and pathological. They often fail to be smoothly differentiable. For example, a well known theorem of David Hilbert asserts that the hyperbolic plane cannot be smoothly isometrically immersed into ℝ^(3). Any Einstein manifold of negative scalar curvature cannot be smoothly isometrically immersed as a hypersurface, and a theorem of Shiing Shen Chern and Kuiper even says that any closed m dimensional manifold of nonpositive sectional curvature cannot be smoothly isometrically immersed in ℝ^(2m – 1). Furthermore, some smooth isometric embeddings exhibit rigidity phenomena which are violated by the largely unrestricted choice of f in the Nash–Kuiper theorem. For example, the image of any smooth isometric hypersurface immersion of the round sphere must itself be a round sphere. By contrast, the Nash–Kuiper theorem ensures the existence of continuously differentiable isometric hypersurface immersions of the round sphere which are arbitrarily close to (for instance) a topological embedding of the sphere as a small ellipsoid. Any closed and oriented two dimensional manifold can be smoothly embedded in ℝ^(3). Any such embedding can be scaled by an arbitrarily small constant so as to become short, relative to any given Riemannian metric on the surface. It follows from the Nash–Kuiper theorem that there are continuously differentiable isometric embeddings of any such Riemannian surface where the radius of a circumscribed ball is arbitrarily small. By contrast, no negatively curved closed surface can even be smoothly isometrically embedded in ℝ^(3). Moreover, for any smooth (or even C^(2)) isometric embedding of an arbitrary closed Riemannian surface, there is a quantitative (positive) lower bound on the radius of a circumscribed ball in terms of the surface area and curvature of the embedded metric. In higher dimension, as follows from the Whitney embedding theorem, the Nash–Kuiper theorem shows that any closed m dimensional Riemannian manifold admits an continuously differentiable isometric embedding into an arbitrarily small neighborhood in 2m dimensional Euclidean space. Although Whitney's theorem also applies to noncompact manifolds, such embeddings cannot simply be scaled by a small constant so as to become short. Nash proved that every m dimensional Riemannian manifold admits a continuously differentiable isometric embedding into ℝ^(2m + 1). At the time of Nash's work, his theorem was considered to be something of a mathematical curiosity. The result itself has not found major applications. However, Nash's method of proof was adapted by Camillo De Lellis and László Székelyhidi to construct low regularity solutions, with prescribed kinetic energy, of the Euler equations from the mathematical study of fluid mechanics. In analytical terms, the Euler equations have a formal similarity to the isometric embedding equations, via the quadratic nonlinearity in the first derivatives of the unknown function. The ideas of Nash's proof were abstracted by Mikhael Gromov to the principle of convex integration, with a corresponding h principle. This was applied by Stefan Müller and Vladimír Šverák to Hilbert's nineteenth problem, constructing minimizers of minimal differentiability in the calculus of variations.
Ck встраивает теорему
Техническое утверждение, содержащееся в оригинальной статье Нэша, выглядит следующим образом: если M — данное m-мерное риманово многообразие (аналитическое или класса Ck, 3 ≤ k ≤ ∞), то существует число n (причем n ≤ m(3m+11)/2, если M — компактное многообразие, и n ≤ m(m+1)(3m+11)/2, если M — некомпактное многообразие) и изометрическое вложение ƒ: M → Rn (также аналитическое или класса Ck). То есть ƒ является вложением многообразий класса Ck, и для каждой точки p из M производная dƒp является линейным отображением из тангентного пространства TpM в Rn, которое согласуется с заданным внутренним произведением на TpM и стандартным скалярным произведением в Rn в следующем смысле: для всех векторов u, v из TpM. Когда n больше, это недоопределенная система дифференциальных уравнений (ДУ). Теорема о вложении Нэша является глобальной теоремой в том смысле, что все многообразие вкладывается в Rn. Локальная теорема о вложении значительно проще и может быть доказана с использованием теоремы о неявной функции из высшего математического анализа в координатной окрестности многообразия. Доказательство теоремы о глобальном вложении опирается на теорему Нэша о неявной функции для изометрических вложений. Эта теорема была обобщена рядом других авторов в абстрактных контекстах, где она известна как теорема Нэша — Мозера. Основная идея в доказательстве теоремы Нэша о неявных функциях — использование метода Ньютона для построения решений. Стандартный метод Ньютона не сходится при применении к этой системе; Нэш использует операторы сглаживания, определенные сверткой, чтобы обеспечить сходимость итерации Ньютона: это метод Ньютона с пост-условием. Тот факт, что эта техника дает решение, сам по себе является теоремой о существовании и представляет самостоятельный интерес. В других контекстах сходимость стандартного метода Ньютона ранее была доказана Леонидом Канторовичем.
for all vectors u, v in TpM. When n is larger than , this is an underdetermined system of partial differential equations (PDEs). The Nash embedding theorem is a global theorem in the sense that the whole manifold is embedded into Rn. A local embedding theorem is much simpler and can be proved using the implicit function theorem of advanced calculus in a coordinate neighborhood of the manifold. The proof of the global embedding theorem relies on Nash's implicit function theorem for isometric embeddings. This theorem has been generalized by a number of other authors to abstract contexts, where it is known as Nash–Moser theorem. The basic idea in the proof of Nash's implicit function theorem is the use of Newton's method to construct solutions. The standard Newton's method fails to converge when applied to the system; Nash uses smoothing operators defined by convolution to make the Newton iteration converge: this is Newton's method with postconditioning. The fact that this technique furnishes a solution is in itself an existence theorem and of independent interest. In other contexts, the convergence of the standard Newton's method had earlier been proved by Leonid Kantorovitch.