Введение

Двумерное многообразие

В разделе математики, известном как топология, поверхность представляет собой двумерное многообразие. Некоторые поверхности возникают как границы трехмерных тел; например, сфера является границей твердого шара. Другие поверхности возникают как графики функций двух переменных; см. рисунок справа. Однако поверхности могут также определяться абстрактно, без привязки к какому-либо окружающему пространству. Например, бутылка Клейна — это поверхность, которую нельзя вложить в трехмерное евклидово пространство. Топологические поверхности иногда снабжаются дополнительной информацией, такой как риманова метрика или комплексная структура, что связывает их с другими областями математики, такими как дифференциальная геометрия и комплексный анализ. Различные математические представления поверхности могут использоваться для моделирования поверхностей в физическом мире.

В общем

В математике поверхность — это геометрическая фигура, напоминающая деформированную плоскость. Наиболее распространенные примеры возникают как границы твердых тел в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3, таких как сферы. Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Как правило, в алгебраической геометрии поверхность может самопересекаться (и иметь другие сингулярности), в то время как в топологии и дифференциальной геометрии это не допускается. Поверхность — это двумерное пространство; это означает, что движущаяся точка на поверхности может перемещаться в двух направлениях (имеет две степени свободы). Иными словами, в окрестности почти каждой точки существует координатная окрестность, на которой определена двумерная система координат. Например, поверхность Земли напоминает (в идеале) двумерную сферу, а широта и долгота предоставляют двумерные координаты на ней (за исключением полюсов и вдоль 180-го меридиана). Концепция поверхности широко используется в физике, инженерии, компьютерной графике и многих других областях, прежде всего для представления поверхностей физических объектов. Например, при анализе аэродинамических свойств самолета ключевым фактором является обтекание воздуха его поверхностью.

Определения и первые примеры

(Топологическая) поверхность – это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытое окрестность, гомеоморфную некоторому открытому подмножеству евклидовой плоскости E2. Такая окрестность вместе с соответствующим гомеоморфизмом известна как (координатная) диаграмма. Именно через эту диаграмму окрестность наследует стандартные координаты на евклидовой плоскости. Эти координаты известны как локальные координаты, и эти гомеоморфизмы приводят нас к описанию поверхностей как локально евклидовых. В большинстве работ по этому предмету часто предполагается, явно или неявно, что как топологическое пространство поверхность также является непустой, второй счетной и хаусдорфовой. Также часто предполагается, что рассматриваемые поверхности связны. В остальной части этой статьи будет предполагаться, если не указано иное, что поверхность не пуста, хаусдорфова, второй счетной и связна. В более общем виде, (топологическая) поверхность с границей является хаусдорфовым топологическим пространством, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную некоторому открытому подмножеству замыкания верхней полуплоскости H2 в C. Эти гомеоморфизмы также известны как (координатные) диаграммы. Граница верхней полуплоскости – ось x. Точка на поверхности, отображенная диаграммой на ось x, называется граничной точкой. Совокупность таких точек известна как граница поверхности, которая обязательно является одномерным многообразием, то есть объединением замкнутых кривых. С другой стороны, точка, отображенная выше оси x, является внутренней точкой. Коллекция внутренних точек – это внутренность поверхности, которая всегда не пуста. Закрытый диск – простой пример поверхности с границей. Граница диска – это окружность. Термин "поверхность", используемый без уточнения, относится к поверхностям без границы. В частности, поверхность с пустой границей является поверхностью в обычном смысле. Поверхность с пустой границей, которая является компактной, известна как "закрытая" поверхность. Двумерная сфера, двумерный тор и вещественная проективная плоскость являются примерами закрытых поверхностей. Полоса Мёбиуса – это поверхность, на которой различие между по часовой стрелке и против часовой стрелки может быть определено локально, но не глобально. В общем, поверхность считается ориентируемой, если она не содержит гомеоморфную копию полосы Мёбиуса; интуитивно, она имеет две различные "стороны". Например, сфера и тор ориентируемы, в то время как вещественная проективная плоскость – нет (потому что вещественная проективная плоскость с одной удаленной точкой гомеоморфна открытой полосе Мёбиуса). В дифференциальной и алгебраической геометрии дополнительная структура добавляется к топологии поверхности. Эта добавленная структура может быть структурой гладкости (что позволяет определять дифференцируемые отображения на поверхность и от нее), римановой метрикой (что позволяет определять длину и углы на поверхности), комплексной структурой (что позволяет определять голоморфные отображения на поверхность и от нее – в этом случае поверхность называется поверхностью Римана), или алгебраической структурой (что позволяет обнаруживать сингулярности, такие как самопересечения и куспиды, которые не могут быть описаны исключительно с точки зрения базовой топологии).

Внешне определенные поверхности и вставки

Исторически поверхности изначально определялись как подпространства евклидовых пространств. Часто эти поверхности были геометрическим местом нулей определенных функций, обычно полиномиальных. Такое определение рассматривало поверхность как часть большего (евклидова) пространства и, как следствие, называлось внешним. В предыдущем разделе поверхность определяется как топологическое пространство с определенными свойствами, а именно хаусдорфово и локально евклидово. Это топологическое пространство не рассматривается как подпространство другого пространства. В этом смысле приведенное выше определение, которое используют математики в настоящее время, является внутренним. Поверхность, определенная как внутренняя, не обязана удовлетворять дополнительному ограничению быть подпространством евклидова пространства. Может показаться, что некоторые внутренне определенные поверхности не являются поверхностями в внешнем смысле. Однако теорема о вложении Уитни утверждает, что любую поверхность можно вложить в евклидово пространство гомеоморфно, фактически в E4: внешние и внутренние подходы оказываются эквивалентными. Фактически, любую компактную поверхность, которая является ориентируемой или имеет границу, можно вложить в E3; с другой стороны, вещественная проективная плоскость, которая является компактной, не ориентируемой и не имеет границы, не может быть вложена в E3 (см. Грамен). Поверхности Штейнера, включая поверхность Боя, римскую поверхность и перекрестную крышку, являются моделями вещественной проективной плоскости в E3, но только поверхность Боя является погруженной поверхностью. Все эти модели сингулярны в точках, где они самопересекаются. Сфера с рогами Александра — это хорошо известное патологическое вложение двухмерной сферы в трехмерную сферу. Выбранное (если оно существует) вложение поверхности в другое пространство рассматривается как внешняя информация; оно не является существенным для самой поверхности. Например, тор можно вложить в E3 «стандартным» способом (выглядящим как бублик) или узловым способом (см. рисунок). Два вложенных тора гомеоморфны, но не изотопны: они топологически эквивалентны, но их вложения различны. Образ непрерывной инъективной функции из R2 в многомерное Rn называется параметрической поверхностью. Такой образ называется так, потому что направления x и y области определения R2 являются двумя переменными, которые параметризуют образ. Параметрическая поверхность не обязательно должна быть топологической поверхностью. Поверхность вращения можно рассматривать как частный случай параметрической поверхности. Если f — гладкая функция из R3 в R, градиент которой нигде не равен нулю, то геометрическое место нулей f определяет поверхность, известную как неявная поверхность. Если условие ненулевого градиента снимается, то нулевое множество может развивать сингулярности.

Соединенные суммы

Соединенная сумма двух поверхностей M и N, обозначаемая M # N, получается путем удаления диска из каждой из них и склеивания их вдоль образовавшихся граничных компонентов. Граница диска – это окружность, поэтому эти граничные компоненты – окружности. Эйлерова характеристика M # N равна сумме эйлеровых характеристик слагаемых минус два:

Сфера S является нейтральным элементом для соединенной суммы, то есть S # M = M. Это происходит потому, что удаление диска из сферы оставляет диск, который просто заменяет диск, удаленный из M, при склеивании. Соединенная сумма с тором T также описывается как добавление "ручки" к другой сумме M. Если M ориентируема, то T # M также ориентируема. Соединенная сумма ассоциативна, поэтому соединенная сумма конечного числа поверхностей определена однозначно. Соединенная сумма двух вещественных проективных плоскостей, P # P, является бутылкой Клейна K. Соединенная сумма вещественной проективной плоскости и бутылки Клейна гомеоморфна соединенной сумме вещественной проективной плоскости с тором; в формуле это выглядит так: P # K = P # T. Следовательно, соединенная сумма трех вещественных проективных плоскостей гомеоморфна соединенной сумме вещественной проективной плоскости с тором. Любая соединенная сумма, включающая вещественную проективную плоскость, не ориентируема.

Закрытые поверхности

Закрытая поверхность — это поверхность, которая компактна и не имеет границы. Примерами закрытых поверхностей являются сфера, тор и бутылка Клейна. Примерами не закрытых поверхностей являются открытый диск (который можно представить как сферу с дырой), цилиндр (который можно представить как сферу с двумя дырами) и лента Мёбиуса. Поверхность, погруженная в трехмерное пространство, является закрытой тогда и только тогда, когда она является границей трехмерного тела. Как и в случае любого замкнутого многообразия, поверхность, погруженная в евклидово пространство и замкнутая относительно индуцированной евклидовой топологии, не обязательно является закрытой поверхностью; например, диск, погруженный в пространство и содержащий свою границу, является поверхностью, которая топологически замкнута, но не является закрытой поверхностью.

Моноидная структура

Связывая эту классификацию с соединенными суммами, замкнутые поверхности с точностью до гомеоморфизма образуют коммутативный моноид относительно операции соединенной суммы, как и многообразия любой фиксированной размерности. Нейтральным элементом является сфера, а вещественная проективная плоскость и тор генерируют этот моноид, с единственным соотношением 1 = P # P # P = P # T, которое также можно записать как 1 = P # K = P # T, поскольку 1 = K = P # P. Это соотношение иногда называют теоремой Дика в честь Вальтера фон Дика, который доказал его в , а поверхность P # P # P, соответственно, называют поверхностью Дика. И сегодня существует множество доказательств. Топологические и комбинаторные доказательства в общем случае опираются на сложный результат о том, что каждое компактное 2-многообразие гомеоморфно симплициальному комплексу, что само по себе представляет интерес. Наиболее распространенное доказательство классификации – . Эта классификация почти непосредственно следует из классификации замкнутых поверхностей: удаление открытого диска из замкнутой поверхности дает компактную поверхность с окружностью в качестве граничной компоненты, а удаление k открытых дисков дает компактную поверхность с k непересекающимися окружностями в качестве граничных компонент. Точное расположение отверстий несущественно, поскольку группа гомеоморфизмов действует k-транзитивно на любом связном многообразии размерности не менее 2. Обратно, граница компактной поверхности является замкнутым 1-многообразием и, следовательно, является дизъюнктным объединением конечного числа окружностей; заполнение этих окружностей дисками (формально, взятие конуса) дает замкнутую поверхность. Уникальная компактная ориентируемая поверхность рода g и с k граничными компонентами часто обозначается, например, при изучении группы отображений класса.

Некомпактные поверхности

Некомпактные поверхности сложнее классифицировать. В качестве простого примера, некомпактная поверхность может быть получена путем прокола (удаления конечного набора точек из) замкнутого многообразия. С другой стороны, любое открытое подмножество компактной поверхности само по себе является некомпактной поверхностью; рассмотрим, например, дополнение множества Кантора в сфере, также известное как поверхность-дерево Кантора. Однако не каждая некомпактная поверхность является подмножеством компактной поверхности; два канонических контрпримера — лестница Иакова и чудовище Лох-Несса, являющиеся некомпактными поверхностями с бесконечным родом. Некомпактная поверхность M имеет непустое пространство концов E(M), которое, неформально говоря, описывает способы, которыми поверхность "уходит в бесконечность". Пространство E(M) всегда топологически эквивалентно замкнутому подпространству множества Кантора. M может иметь конечное или счетно бесконечное число ручек Nh, а также конечное или счетно бесконечное число Np проективных плоскостей. Если оба числа Nh и Np конечны, то эти два числа и топологический тип пространства концов классифицируют поверхность M с точностью до топологической эквивалентности. Если одно или оба числа Nh и Np бесконечны, то топологический тип M зависит не только от этих двух чисел, но и от того, как бесконечные из них стремятся к пространству концов. В общем случае топологический тип M определяется четырьмя подпространствами E(M), являющимися предельными точками бесконечного числа ручек и бесконечного числа проективных плоскостей, предельными точками только ручек, предельными точками только проективных плоскостей и предельными точками ни ручек, ни проективных плоскостей.

Предположение о вторичной ответственности

Если исключить предположение о второй счетности из определения поверхности, то существуют (не обязательно некомпактные) топологические поверхности, не имеющие счетной базы для своей топологии. Возможно, самым простым примером является декартово произведение длинной прямой и пространства действительных чисел. Другой поверхностью, не имеющей счетной базы для своей топологии, но существование которой не требует использования аксиомы выбора, является многообразие Прюфера, которое можно описать простыми уравнениями, показывающими, что это вещественно-аналитическое многообразие. Многообразие Прюфера можно представить как верхнюю полуплоскость вместе с одним дополнительным "языком" Tx, свисающим прямо под точкой (x, 0) для каждого действительного x. В 1925 году Тибор Радо доказал, что все римановы поверхности (то есть одномерные комплексные многообразия) обязательно вторично счетны (теорема Радо). В отличие от этого, если в построении многообразия Прюфера заменить действительные числа комплексными, то получится двумерное комплексное многообразие (которое, следовательно, является четырехмерным вещественным многообразием) без счетной базы.

Поверхности в геометрии

Полиэдры, такие как граница куба, являются одними из первых поверхностей, с которыми сталкиваются в геометрии. Также возможно определить гладкие поверхности, в каждой точке которых существует окрестность, диффеоморфная некоторому открытому множеству в E2. Это позволяет применять методы математического анализа к поверхностям для доказательства множества результатов. Две гладкие поверхности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они гомеоморфны. (Аналогичный результат не верен для многообразий большей размерности.) Таким образом, замкнутые поверхности классифицируются с точностью до диффеоморфизма по их характеристике Эйлера и ориентируемости. Гладкие поверхности, снабженные римановыми метриками, играют основополагающую роль в дифференциальной геометрии. Риманова метрика наделяет поверхность понятиями геодезической, расстояния, угла и площади. Она также порождает гауссову кривизну, которая описывает, насколько поверхность изогнута или искривлена в каждой точке. Кривизна является жестким геометрическим свойством, поскольку она не сохраняется общими диффеоморфизмами поверхности. Однако известная теорема Гаусса — Бонне для замкнутых поверхностей утверждает, что интеграл гауссовой кривизны K по всей поверхности S определяется характеристикой Эйлера:

Этот результат иллюстрирует глубокую связь между геометрией и топологией поверхностей (и, в меньшей степени, многообразий большей размерности). Другой способ, которым поверхности возникают в геометрии, — это переход к комплексной области. Комплексное односвязное многообразие — это гладкая ориентированная поверхность, также называемая поверхностью Римана. Любая комплексная несингулярная алгебраическая кривая, рассматриваемая как комплексное многообразие, является поверхностью Римана. Фактически, любая компактная ориентируемая поверхность может быть реализована как поверхность Римана. Таким образом, компактные поверхности Римана характеризуются топологически своим родом: 0, 1, 2, … С другой стороны, род не характеризует комплексную структуру. Например, существует несчетное множество неизоморфных компактных поверхностей Римана рода 1 (эллиптических кривых). Комплексные структуры на замкнутой ориентированной поверхности соответствуют классам конформного эквивалентности римановых метрик на поверхности. Одна из версий теоремы об униформизации (установленная Пуанкаре) утверждает, что любая риманова метрика на ориентированной замкнутой поверхности конформно эквивалентна по существу единственной метрике постоянной кривизны. Это дает отправную точку для одного из подходов к теории Тейхмюллера, которая обеспечивает более тонкую классификацию поверхностей Римана, чем классификация только по характеристике Эйлера. Комплексная поверхность — это комплексное двумерное многообразие и, следовательно, вещественное четырехмерное многообразие; это не поверхность в смысле данной статьи. То же самое относится и к алгебраическим кривым, определенным над полями, отличными от комплексных чисел, и к алгебраическим поверхностям, определенным над полями, отличными от вещественных чисел.