Гипотеза Пуанкаре и геометрическая топология

Введение

Теорема в геометрической топологии

В математической области геометрической топологии гипотеза Пуанкаре – это теорема о характеристике 3-сферы, которая является гиперсферой, ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве. Впервые выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году, теорема касается пространств, которые локально выглядят как обычное трехмерное пространство, но при этом имеют конечные размеры. Пуанкаре предположил, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что любую петлю в нем можно непрерывно стянуть в точку, то оно обязательно является трехмерной сферой. Попытки доказать гипотезу стимулировали значительный прогресс в области геометрической топологии в течение 20-го века. Окончательное доказательство опиралось на программу Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения этой задачи. Разработав ряд новых методов и результатов в теории потока Риччи, Григорий Перельман смог модифицировать и завершить программу Гамильтона. В статьях, опубликованных в репозитории arXiv в 2002 и 2003 годах, Перельман представил свою работу, доказывающую гипотезу Пуанкаре (и более общую гипотезу геометризации Уильяма Терстона). В течение последующих нескольких лет ряд математиков изучили его работы и представили детальные изложения его результатов. Работа Гамильтона и Перельмана по гипотезе широко признана как веха в математических исследованиях. Гамильтон был удостоен премии Шоу и премии Лероя П. Стила за выдающийся вклад в научные исследования. Журнал Science назвал доказательство гипотезы Пуанкаре, выполненное Перелманом, научным прорывом года в 2006 году. Институт математики Клэя, включив гипотезу Пуанкаре в свой известный список задач тысячелетия, предложил Перелману приз в размере 1 миллиона долларов США за ее решение. Он отказался от награды, заявив, что вклад Гамильтона был равноценен его собственному.

Обзор

Гипотеза Пуанкаре была математической проблемой в области геометрической топологии. В терминологии этой области, она утверждает следующее: гипотеза Пуанкаре. Любой трехмерный топологический многообраз, который замкнут, связен и имеет тривиальную фундаментальную группу, гомеоморфен трехмерной сфере. Привычные формы, такие как поверхность шара (который в математике известен как двумерная сфера) или тор, являются двумерными. Поверхность шара имеет тривиальную фундаментальную группу, что означает, что любую петлю, нарисованную на поверхности, можно непрерывно деформировать в точку. В отличие от этого, поверхность тора имеет нетривиальную фундаментальную группу, поскольку на ней существуют петли, которые нельзя таким образом деформировать. Оба являются топологическими многообразиями, которые замкнуты (то есть не имеют границы и занимают конечную область пространства) и связны (то есть состоят из одной части). Два замкнутых многообразия называются гомеоморфными, если точки одного из них можно непрерывно перенести на другое. Поскольку (не)тривиальность фундаментальной группы инвариантна относительно гомеоморфизма, следует, что двумерная сфера и тор не гомеоморфны. Двумерный аналог гипотезы Пуанкаре утверждает, что любой двумерный топологический многообраз, который замкнут и связен, но не гомеоморфен двумерной сфере, должен содержать петлю, которую нельзя непрерывно стянуть в точку. (Это иллюстрируется примером тора, как указано выше.) Известно, что этот аналог верен благодаря классификации замкнутых и связных двумерных топологических многообразий, которая была понята в различных формах с 1860-х годов. В более высоких размерностях замкнутые и связные топологические многообразия не имеют прямой классификации, что препятствует простому решению гипотезы Пуанкаре.

Вопрос Понкаре

В 1800-х годах Бернхард Риман и Энрико Бетти начали изучение топологических инвариантов многообразий. Они ввели числа Бетти, которые сопоставляют любому многообразию список неотрицательных целых чисел. Риман показал, что замкнутое связное двумерное многообразие полностью характеризуется своими числами Бетти. В рамках своей работы 1895 года Analysis Situs (анонсированной в 1892 году) Пуанкаре показал, что результат Римана не распространяется на более высокие размерности. Для этого он ввёл фундаментальную группу как новый топологический инвариант и смог привести примеры трёхмерных многообразий, имеющих одинаковые числа Бетти, но различные фундаментальные группы. Он поставил вопрос о том, достаточно ли фундаментальной группы для топологической характеристики многообразия (заданной размерности), хотя и не пытался найти ответ, отметив лишь, что это "потребует длительного и сложного изучения". Основной целью работы Пуанкаре была интерпретация чисел Бетти в терминах его недавно введённых гомологических групп, а также теорема двойственности Пуанкаре о симметрии чисел Бетти. После критики полноты его аргументов, он опубликовал ряд последующих "дополнений" для уточнения и исправления своей работы. Заключительное замечание его второго дополнения, опубликованного в 1900 году, гласило: это означает, что замкнутое связное ориентированное многообразие с гомологией сферы должно быть гомеоморфно сфере. Пуанкаре спрашивал, является ли тривиальность фундаментальной группы единственным способом идентификации сферы. По этой причине вопросы Пуанкаре нельзя однозначно интерпретировать. Лишь благодаря формализации и терминологии топологии, разработанной последующими математиками, заключительный вопрос Пуанкаре был понят как «гипотеза Пуанкаре», сформулированная в предыдущем разделе. Однако, несмотря на её обычное представление в виде гипотезы, утверждающей, что все многообразия определённого типа гомеоморфны сфере, Пуанкаре лишь задал открытый вопрос, не осмеливаясь предполагать что-либо в ту или иную сторону. Более того, нет никаких свидетельств того, каким он считал ответ на свой вопрос. Бинг также описал некоторые подводные камни при попытке доказать гипотезу Пуанкаре. Влодзимеж Якобске показал в 1978 году, что если гипотеза Бинга — Борсука верна в трёхмерном пространстве, то и гипотеза Пуанкаре также должна быть верной. Со временем гипотеза приобрела репутацию особенно сложной задачи. Джон Милнор заметил, что ошибки в неверных доказательствах порой могут быть «довольно тонкими и трудно обнаруживаемыми». Работа над гипотезой углубила понимание трёхмерных многообразий. Эксперты в этой области часто неохотно публиковали доказательства и относились к любым подобным заявлениям со скептицизмом. В 1980-х и 1990-х годах было опубликовано несколько широко известных ошибочных доказательств (которые, однако, не были опубликованы в рецензируемых изданиях). Описание попыток доказать эту гипотезу можно найти в научно-популярной книге Джорджа Шпиро «Премия Пуанкаре».

In the 1800s, Bernhard Riemann and Enrico Betti initiated the study of topological invariants of manifolds. They introduced the Betti numbers, which associate to any manifold a list of nonnegative integers. Riemann had showed that a closed connected two dimensional manifold is fully characterized by its Betti numbers. As part of his 1895 paper Analysis Situs (announced in 1892), Poincaré showed that Riemann's result does not extend to higher dimensions. To do this he introduced the fundamental group as a novel topological invariant, and was able to exhibit examples of three dimensional manifolds which have the same Betti numbers but distinct fundamental groups. He posed the question of whether the fundamental group is sufficient to topologically characterize a manifold (of given dimension), although he made no attempt to pursue the answer, saying only that it would "demand lengthy and difficult study." The primary purpose of Poincaré's paper was the interpretation of the Betti numbers in terms of his newly introduced homology groups, along with the Poincaré duality theorem on the symmetry of Betti numbers. Following criticism of the completeness of his arguments, he released a number of subsequent "supplements" to enhance and correct his work. The closing remark of his second supplement, published in 1900, said: this says that a closed connected oriented manifold with the homology of a sphere must be homeomorphic to a sphere. Poincaré was asking whether the triviality of the fundamental group uniquely characterizes the sphere. For this reason, it is not possible to read Poincaré's questions unambiguously. It is only through the formalization and vocabulary of topology as developed by later mathematicians that Poincaré's closing question has been understood as the "Poincaré conjecture" as stated in the preceding section. However, despite its usual phrasing in the form of a conjecture, proposing that all manifolds of a certain type are homeomorphic to the sphere, Poincaré only posed an open ended question, without venturing to conjecture one way or the other. Moreover, there is no evidence as to which way he believed his question would be answered. Bing also described some of the pitfalls in trying to prove the Poincaré conjecture. Włodzimierz Jakobsche showed in 1978 that, if the Bing–Borsuk conjecture is true in dimension 3, then the Poincaré conjecture must also be true. Over time, the conjecture gained the reputation of being particularly tricky to tackle. John Milnor commented that sometimes the errors in false proofs can be "rather subtle and difficult to detect." Work on the conjecture improved understanding of 3 manifolds. Experts in the field were often reluctant to announce proofs and tended to view any such announcement with skepticism. The 1980s and 1990s witnessed some well publicized fallacious proofs (which were not actually published in peer reviewed form). An exposition of attempts to prove this conjecture can be found in the non technical book Poincaré's Prize by George Szpiro.

Размеры

Классификация замкнутых поверхностей дает утвердительный ответ на аналогичный вопрос в двух измерениях. Для измерений, больших трех, можно сформулировать обобщенную гипотезу Пуанкаре: является ли гомотопическая n-сфера гомеоморфной n-сфере? Требуется более сильное предположение, чем просто связность; в измерениях четыре и выше существуют простосвязные замкнутые многообразия, которые не гомотопически эквивалентны n-сфере. Исторически, хотя гипотеза в трех измерениях казалась правдоподобной, обобщенная гипотеза считалась ложной. В 1961 году Стивен Смейл потряс математиков, доказав обобщенную гипотезу Пуанкаре для измерений, больших четырех, и расширил свои методы для доказательства фундаментальной теоремы о кобордизмах. В 1982 году Майкл Фридман доказал гипотезу Пуанкаре в четырех измерениях. Работа Фридмана оставила открытой возможность существования гладкого четырехмерного многообразия, гомеоморфного четырехмерной сфере, но не диффеоморфного ей. Эта так называемая гладкая гипотеза Пуанкаре в четвертом измерении остается нерешенной и считается очень сложной. Экзотические сферы Милнора показывают, что гладкая гипотеза Пуанкаре неверна, например, в седьмом измерении. Эти ранние успехи в более высоких измерениях оставили вопрос о трех измерениях неопределенным. Гипотеза Пуанкаре по существу была верна как в четвертом измерении, так и во всех более высоких измерениях по существенно различным причинам. В третьем измерении гипотеза имела неоднозначную репутацию, пока гипотеза геометризации не поместила ее в рамки, описывающие все трехмерные многообразия. Джон Морган писал: