Введение

Группа четных перестановок конечного множества

В математике, чередующаяся группа — это группа четных перестановок конечного множества. Чередующаяся группа на множестве из n элементов называется чередующейся группой степени n, или чередующейся группой на n элементах и обозначается Aₙ или Alt(n).

Основные свойства

Для n > 1 группа An является коммутаторной подгруппой симметричной группы Sn с индексом 2 и, следовательно, содержит n!/2 элементов. Она является ядром гомоморфизма группы знаков, описанного в разделе, посвященном симметричной группе. Группа An является абелевой тогда и только тогда, когда n ≤ 3, и простой — тогда и только тогда, когда n = 3 или n ≥ 5. A5 — наименьшая неабелева простая группа порядка 60 и наименьшая неразрешимая группа. Группа A4 имеет в качестве собственной нормальной подгруппы группу Клейна V, а именно тождественный элемент и двойные транспозиции, являющиеся ядром сюръективного отображения A4 на A3 ≅ Z3. Существует точная последовательность 1 → V → A4 → A3 → Z3. В теории Галуа это отображение, точнее соответствующее отображение S4 → S3, соответствует сопоставлению квартике кубического лагранжева разрешающего многочлена, что позволяет решить квартичный полином в радикалах, как установил Лодовико Феррари.

Отношение к симметричной группе

См. симметрическую группу. Поскольку конечные симметричные группы являются группами всех перестановок конечного множества, а группы перестановок четной степени – группами четных перестановок, то группы перестановок четной степени являются подгруппами конечных симметричных групп.

Генераторы и связи

Для n ≥ 3, группа An порождается тремя циклами, поскольку три цикла могут быть получены комбинированием пар транспозиций. Этот порождающий набор часто используется для доказательства простоты группы An при n ≥ 5.

Исключительные изоморфизмы

Существуют некоторые исключительные изоморфизмы между некоторыми небольшими чередующимися группами и небольшими группами типа Ли, в частности, проективными специальными линейными группами. Это:
A4 изоморфен PSL2(3) и группе симметрии хиральной тетраэдрической симметрии. A5 изоморфен PSL2(4), PSL2(5) и группе симметрии хиральной икосаэдрической симметрии. (См. поскольку комбинации головоломки «15» могут быть сгенерированы 3-циклами. Фактически, любая скользящая головоломка (2k − 1) x (2k − 1) с квадратными плитками одинакового размера может быть представлена группой A2k−1.

Подгруппы

A4 — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратное к теореме Лагранжа неверно в общем случае: для конечной группы G и делителя d порядка группы G не обязательно существует подгруппа порядка d. Группа A4 порядка 12 не имеет подгруппы порядка 6. Подгруппа, состоящая из трех элементов (порожденная циклическим вращением трех объектов), вместе с любым отличным от единичного нетривиальным элементом порождает всю группу. Для всех n > 4, An не имеет нетривиальных (то есть, собственных) нормальных подгрупп. Следовательно, An является простой группой для всех n > 4. A5 — наименьшая неразрешимая группа.

Гомология группы

Групповая гомология чередующихся групп демонстрирует стабилизацию, подобно стабилизации в теории стабильных гомотопий: при достаточно больших n она становится постоянной. Однако существуют некоторые исключительные гомологии в малых размерностях. Следует отметить, что гомология симметричной группы также демонстрирует аналогичную стабилизацию, но без исключений в малых размерностях (дополнительных элементов гомологии).