Введение

Случайная переменная с несколькими компонентными размерностями

В теории вероятностей и статистике многомерная случайная переменная или случайный вектор — это список или вектор математических переменных, каждое значение которых неизвестно, либо потому, что значение еще не реализовалось, либо из-за неполноты информации о нем. Отдельные переменные в случайном векторе объединяются, поскольку все они являются частью единой математической системы — часто они представляют различные характеристики отдельной статистической единицы. Например, хотя у конкретного человека есть определенный возраст, рост и вес, представление этих характеристик неопределенного человека из группы будет случайным вектором. Обычно каждый элемент случайного вектора является действительным числом. Случайные векторы часто используются в качестве основы для реализации различных типов агрегированных случайных величин, например, случайной матрицы, случайного дерева, случайной последовательности, стохастического процесса и т.д. Более формально, многомерная случайная переменная — это столбец-вектор (или его транспонирование, являющееся строкой-вектором), компоненты которого являются скалярными случайными величинами, определенными на одном и том же вероятностном пространстве, где — пространство элементарных событий, — сигма-алгебра (совокупность всех событий), а — мера вероятности (функция, возвращающая вероятность каждого события).

Операции с случайными векторами

Случайные векторы могут подвергаться тем же алгебраическим операциям, что и детерминированные векторы: сложение, вычитание, умножение на скаляр и вычисление скалярного произведения.

Инвертируемые соотношения

Более общим образом мы можем изучать обратимые отображения случайных векторов. Пусть f — взаимно однозначное отображение из открытого подмножества U пространства Rⁿ на подмножество V пространства Rⁿ, при этом f имеет непрерывные частные производные в U и якобиан f не равен нулю ни в одной точке из U. Предположим, что реальный случайный вектор X имеет функцию плотности вероятности p(x) и удовлетворяет условию x ∈ U. Тогда случайный вектор Y = f(X) имеет плотность вероятности, равную

p(y) = p(f⁻¹(y)) |det(J f⁻¹(y))|,

где det(J f⁻¹(y)) обозначает якобиан обратного отображения f⁻¹, а множество U обозначает поддержку функции p(x).

Ожидаемое значение

Ожидаемое значение или математическое ожидание случайного вектора — это фиксированный вектор, компоненты которого являются математическими ожиданиями соответствующих случайных величин.

Теория портфеля

В теории портфеля в финансах часто ставится цель выбрать портфель рискованных активов таким образом, чтобы распределение случайной доходности портфеля обладало желаемыми свойствами. Например, можно стремиться к выбору портфеля с минимальной дисперсией при заданном ожидаемом значении доходности. Здесь случайный вектор представляет собой вектор случайных доходностей отдельных активов, а доходность портфеля p (случайная величина) является скалярным произведением вектора случайных доходностей и вектора w весов портфеля – долей портфеля, вложенных в соответствующие активы. Поскольку p = wᵀ, математическое ожидание доходности портфеля равно wᵀE, а дисперсия доходности портфеля может быть выражена как wᵀCw, где C – ковариационная матрица.

Теория регрессии

В теории линейной регрессии у нас есть данные о n наблюдениях зависимой переменной y и n наблюдениях каждой из k независимых переменных xj. Наблюдения зависимой переменной объединяются в столбец-вектор y; наблюдения каждой независимой переменной также объединяются в столбец-векторы, которые затем объединяются в матрицу регрессоров X (в данном контексте не обозначающую случайный вектор) наблюдений независимых переменных. Далее, для описания процесса генерации данных постулируется следующее уравнение регрессии:

где β – постулированный фиксированный, но неизвестный вектор из k коэффициентов регрессии, а e – неизвестный случайный вектор, отражающий случайные воздействия на зависимую переменную. С помощью выбранного метода, например, метода наименьших квадратов, вектор выбирается в качестве оценки β, а оценка вектора e, обозначаемая , вычисляется как

Затем статистику необходимо проанализировать свойства и , которые рассматриваются как случайные векторы, поскольку случайный выбор другой выборки из n наблюдений привел бы к другим значениям этих векторов.