Кіріспе

Көп компонентті өлшемді кездейсоқ айнымалы

Ықтималдық және статистика салаларында көп өлшемді кездейсоқ айнымалы немесе кездейсоқ вектор – математикалық айнымалылардың тізімі немесе векторы, олардың әрқайсысының мәні белгісіз, себебі мәні әлі орын алмаған немесе оның мәні туралы толық емес мәлімет бар. Кездейсоқ вектордағы жеке айнымалылар бірге топтастырылады, өйткені олардың барлығы бір математикалық жүйенің құрамына кіреді – көбінесе олар жеке статистикалық бірліктің әртүрлі қасиеттерін көрсетеді. Мысалы, белгілі бір адамның нақты жасы, бойы және салмағы болса, ал белгілі бір топтан алынған белгісіз адамның осы сипаттамалары кездейсоқ вектор болып табылады. Әдетте, кездейсоқ вектордың әрбір элементі нақты сан болады. Кездейсоқ векторлар көбінесе әртүрлі типтегі жиынтық кездейсоқ айнымалыларды іске асыру үшін қолданылады, мысалы, кездейсоқ матрица, кездейсоқ ағаш, кездейсоқ тізбек, стохастикалық процесс және т.б. Формальды түрде, көп өлшемді кездейсоқ айнымалы – бұл бағандық вектор (немесе оның транспозы, яғни қатарлық вектор), элементтері бір-бірімен бірдей ықтималдық кеңістігінде анықталған скалярлық кездейсоқ айнымалылар болып табылады, мұндағы үлгі кеңістігі – сигма-алгебра (барлық оқиғалардың жиынтығы), ал ықтималдық өлшемі – әрбір оқиғаның ықтималдығын қайтаратын функция.

Кездейсоқ векторларға операциялар

Кездейсоқ векторлар кездейсоқ емес векторлар сияқты бірдей алгебралық амалдарға – қосу, алу, скалярға көбейту және ішкі көбейтуге – қолданылуы мүмкін.

Керілендіргіш сәйкестендірулер

Жалпы алғанда, кездейсоқ векторлардың инверттік түрлендірулерін зерттеуге болады. -ны ашық жиынынан жиынына бір-бірге сәйкес келетін түрлендіру деп алсақ, функциясы жерінде үздіріссіз жеке туындыларға ие болсын және функциясының Якобиан детерминанты жерінде нөлге тең болмасын. Егер нақты кездейсоқ вектор құрамындағы ықтималдық тығыздық функциясы болса және шарты орындалса, онда кездейсоқ векторының ықтималдық тығыздығы:

мұндағы индикаторлық функцияны, ал жиыны -ның қолдау жиынын білдіреді.

Күтілетін құны

Кездейсоқ вектордың күтілетін мәні немесе орташа мәні – элементтері сәйкес кездейсоқ айнымалылардың күтілетін мәндерінен тұратын бекітілген вектор.

Портфель теориясы

Қаржыдағы портфель теориясындағы мақсат көбінесе портфельдің кездейсоқ кірісінің үлестірілімі қажетті қасиеттерге ие болатын тәуекелді активтердің портфелін таңдау болып табылады. Мысалы, белгілі бір күтілетін мән үшін ең төменгі дисперсияға ие портфель кірісін таңдауға болады. Мұнда кездейсоқ вектор – жеке активтердің кездейсоқ кірістерінің векторы, ал портфель кірісі p (кездейсоқ сан) – кездейсоқ кірістер векторының және портфель салмақтарының векторы w арасындағы ішкі көбейтінді, яғни портфельдің тиісті активтерге бөлінген үлесі. p = wT болғандықтан, портфель кірісінің күтілетін мәні wTE, ал портфель кірісінің дисперсиясы wTCw болып көрсетіледі, мұнда C – кірістердің ковариациялық матрицасы.

Регрессия теориясы

Сызықтық регрессия теориясында бізде тәуелді айнымалы y үшін n байқау және әрбір k тәуелсіз xj айнымалысы үшін n байқау туралы деректер бар. Тәуелді айнымалы бойынша байқаулар y бағаналық векторға біріктіріледі; әрбір тәуелсіз айнымалы бойынша байқаулар да бағаналық векторларға біріктіріледі, ал осы соңғы бағаналық векторлар тәуелсіз айнымалылар бойынша байқаулардың жобалау матрицасы X (бұл жағдайда кездейсоқ векторды білдірмейді) құрамына біріктіріледі. Содан кейін деректерді жасаған процестің сипаттамасы ретінде келесі регрессия теңдеуі ұсынылады:

мұнда β – k жауап коэффициенттерінің болжамды тұрақты, бірақ белгісіз векторы, ал e – тәуелді айнымалыға кездейсоқ ықпалдарды көрсететін белгісіз кездейсоқ вектор. Белгілі бір таңдалған әдіспен, мысалы, ең кіші квадраттар әдісімен, β векторының бағасы ретінде вектор таңдалады, ал e векторының бағасы, деп белгіленеді, есептеледі. Содан кейін статистик кездейсоқ векторлар ретінде қарастырылатын және векторларының қасиеттерін талдау керек, себебі n жағдайдың кездейсоқ түрде таңдалуы олардың әртүрлі мәндеріне әкелер еді.