Автоморфизм: Изоморфизм объекта на себя самого.

Введение

Изоморфизм объекта к самому себе

В математике, автоморфизм — это изоморфизм объекта в самого себя. Это, в некотором смысле, симметрия объекта и способ его отображения на себя с сохранением всей его структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу, называемую группой автоморфизмов. Это, в широком смысле, группа симметрий объекта.

Определение

В алгебраической структуре, такой как группа, кольцо или векторное пространство, автоморфизм — это биективный гомоморфизм объекта в самого себя. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., например, гомоморфизм группы, гомоморфизм кольца и линейный оператор.) В более общем случае, для объекта в некоторой категории, автоморфизм — это морфизм объекта в себя, имеющий обратный морфизм; то есть, морфизм является автоморфизмом, если существует морфизм такой, что , где — морфизм тождества X. Для алгебраических структур оба определения эквивалентны; в этом случае морфизм тождества — это просто тождественное отображение и часто называется тривиальным автоморфизмом.

Группа автоморфизма

Автоморфизмы объекта X образуют группу относительно композиции морфизмов, называемую группой автоморфизмов X. Это непосредственно следует из определения категории. Группа автоморфизмов объекта X в категории C часто обозначается как AutC(X), или просто Aut(X), если категория ясна из контекста.

Примеры

В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Автоморфистическая группа X также называется симметричной группой на X. В элементарной арифметике множество целых чисел Z, рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматривая его как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. В общем случае, отрицание является автоморфизмом любой абелевой группы, но не кольца или поля. Автоморфизм группы — это групповой изоморфизм из группы в себя. Неформально, это перестановка элементов группы, сохраняющая структуру. Для каждой группы G существует естественный групповой гомоморфизм G → Aut(G), образ которого представляет собой группу Inn(G) внутренних автоморфизмов, а ядро — центр G. Таким образом, если центр G тривиален, то G можно вложить в свою собственную группу автоморфизмов. В линейной алгебре эндоморфизм векторного пространства V — это линейный оператор V → V. Автоморфизм — это обратимый линейный оператор на V. Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL(V). (Алгебраическая структура всех эндоморфизмов V сама по себе является алгеброй над тем же базовым полем, что и V, чьи обратимые элементы состоят ровно из GL(V).) Автоморфизм поля — это биективный гомоморфизм колец из поля в себя. Поле рациональных чисел не имеет других автоморфизмов, кроме тождественного, поскольку автоморфизм должен фиксировать аддитивную единицу 0 и мультипликативную единицу 1; сумма конечного числа 1 должна быть фиксирована, а также аддитивные обратные этих сумм (то есть, автоморфизм фиксирует все целые числа); наконец, поскольку каждое рациональное число является частным двух целых чисел, все рациональные числа должны быть фиксированы любым автоморфизмом. Поле действительных чисел не имеет других автоморфизмов, кроме тождественного. Действительно, рациональные числа должны быть фиксированы каждым автоморфизмом, как указано выше; автоморфизм должен сохранять неравенства, поскольку эквивалентно , а последнее свойство сохраняется каждым автоморфизмом; наконец, каждое действительное число должно быть фиксировано, поскольку оно является верхней гранью последовательности рациональных чисел. Поле комплексных чисел имеет единственный нетривиальный автоморфизм, который переводит в комплексное сопряжение, но существует бесконечно (несчетно) много "диких" автоморфизмов, если принять аксиому выбора. Изучение автоморфизмов алгебраических расширений поля является отправной точкой и основным объектом теории Галуа. Автоморфистическая группа кватернионов (H) как кольца состоит из внутренних автоморфизмов, согласно теореме Сколема — Нётера: отображений вида a ↦ bab⁻¹. Эта группа изоморфна SO(3), группе вращений в трехмерном пространстве. Автоморфистическая группа октонионов (O) является исключительной группой Ли G₂. В теории графов автоморфизм графа — это перестановка вершин, сохраняющая ребра и отсутствие ребер. В частности, если две вершины соединены ребром, то их образы при перестановке также соединены. В геометрии автоморфизм может называться движением пространства. Также используется специализированная терминология: в метрической геометрии автоморфизм является самоизометрией. Группа автоморфизмов также называется группой изометрий. В категории римановых поверхностей автоморфизм — это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением) с поверхности на себя. Например, автоморфизмы сферы Римана — это преобразования Мёбиуса. Автоморфизм дифференцируемого многообразия M — это диффеоморфизм из M в себя. Группа автоморфизмов иногда обозначается как Diff(M). В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями, а автоморфизм топологического пространства — это гомеоморфизм пространства в себя, или самогомеоморфизм (см. группа гомеоморфизмов). В этом примере недостаточно, чтобы морфизм был биективным для того, чтобы быть изоморфизмом.

In set theory, an arbitrary permutation of the elements of a set X is an automorphism. The automorphism group of X is also called the symmetric group on X. In elementary arithmetic, the set of integers, Z, considered as a group under addition, has a unique nontrivial automorphism: negation. Considered as a ring, however, it has only the trivial automorphism. Generally speaking, negation is an automorphism of any abelian group, but not of a ring or field. A group automorphism is a group isomorphism from a group to itself. Informally, it is a permutation of the group elements such that the structure remains unchanged. For every group G there is a natural group homomorphism G → Aut(G) whose image is the group Inn(G) of inner automorphisms and whose kernel is the center of G. Thus, if G has trivial center it can be embedded into its own automorphism group. In linear algebra, an endomorphism of a vector space V is a linear operator V → V. An automorphism is an invertible linear operator on V. When the vector space is finite dimensional, the automorphism group of V is the same as the general linear group, GL(V). (The algebraic structure of all endomorphisms of V is itself an algebra over the same base field as V, whose invertible elements precisely consist of GL(V).) A field automorphism is a bijective ring homomorphism from a field to itself. The field of the rational numbers has no other automorphism than the identity, since an automorphism must fix the additive identity 0 and the multiplicative identity 1; the sum of a finite number of 1 must be fixed, as well as the additive inverses of these sums (that is, the automorphism fixes all integers); finally, since every rational number is the quotient of two integers, all rational numbers must be fixed by any automorphism. The field of the real numbers has no other automorphism than the identity. Indeed, the rational numbers must be fixed by every automorphism, per above; an automorphism must preserve inequalities since is equivalent to and the latter property is preserved by every automorphism; finally every real number must be fixed since it is the least upper bound of a sequence of rational numbers. The field of the complex numbers, has a unique nontrivial automorphism, the that sends into the complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms, if the axiom of choice is assumed. The study of automorphisms of algebraic field extensions is the starting point and the main object of Galois theory. The automorphism group of the quaternions (H) as a ring are the inner automorphisms, by the Skolem–Noether theorem: maps of the form a ↦ bab−1. This group is isomorphic to SO(3), the group of rotations in 3 dimensional space. The automorphism group of the octonions (O) is the exceptional Lie group G2. In graph theory an automorphism of a graph is a permutation of the nodes that preserves edges and non edges. In particular, if two nodes are joined by an edge, so are their images under the permutation. In geometry, an automorphism may be called a motion of the space. Specialized terminology is also used:
In metric geometry an automorphism is a self isometry. The automorphism group is also called the isometry group. In the category of Riemann surfaces, an automorphism is a biholomorphic map (also called a conformal map), from a surface to itself. For example, the automorphisms of the Riemann sphere are Möbius transformations. An automorphism of a differentiable manifold M is a diffeomorphism from M to itself. The automorphism group is sometimes denoted Diff(M). In topology, morphisms between topological spaces are called continuous maps, and an automorphism of a topological space is a homeomorphism of the space to itself, or self homeomorphism (see homeomorphism group). In this example it is not sufficient for a morphism to be bijective to be an isomorphism.

Внутренние и внешние автоморфизмы

В некоторых категориях – особенно в группах, кольцах и алгебрах Ли – возможно разделить автоморфизмы на два типа, называемые «внутренними» и «внешними» автоморфизмами. В случае групп внутренние автоморфизмы представляют собой сопряжения элементами самой группы. Для каждого элемента *a* группы *G*, сопряжение с помощью *a* – это операция φ*a* : *G* → *G*, заданная как φ*a*(*g*) = *aga*−1 (или *a*−1*ga*; обозначение может варьироваться). Легко проверить, что сопряжение с помощью *a* является автоморфизмом группы. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу Aut(*G*), обозначаемую Inn(*G*); это известно как лемма Гурса. Остальные автоморфизмы называются внешними автоморфизмами. Факторгруппа Aut(*G*) / Inn(*G*) обычно обозначается Out(*G*); нетривиальные элементы – это классы смежности, содержащие внешние автоморфизмы. То же определение справедливо для любого унитального кольца или алгебры, где *a* – любой обратимый элемент. Для алгебр Ли определение несколько иное.