Образ и прообраз функции

Введение

Набор значений функции

В математике для функции , образом входного значения является единственное выходное значение, которое функция выдает при заданном значении . Прообразом выходного значения является множество входных значений, которые дают . В более общем смысле, вычисление функции для каждого элемента данного подмножества ее области определения дает множество, называемое образом под (или через) . Аналогично, прообраз (или обратный образ) данного подмножества области значений является множеством всех элементов области определения, которые отображаются в элементы данного подмножества.

Образом функции является множество всех возможных выходных значений, то есть образ области определения. Прообраз области определения всегда равен области определения, поэтому понятие прообраза области определения используется редко. Образ и прообраз также могут быть определены для общих бинарных отношений, а не только для функций.

Определение

Слово "образ" используется в трех связанных смыслах. В этих определениях, f является функцией из множества X в множество Y.

Изображение подмножества

Всюду будем считать, что – функция. Образом функции подмножества множества является множество всех таких, что . Он обозначается как или при отсутствии риска путаницы. Используя нотацию конструктора множеств, это определение можно записать следующим образом:

Это порождает функцию , где обозначает булеан (или множество всех подмножеств) множества , то есть множество всех подмножеств . Подробнее см. ниже.

Изображение функции

Изображение функции — это множество значений, принимаемых функцией на всей её области определения, также известное как область значений функции. Следует избегать последнего варианта употребления, так как слово "диапазон" также часто используется для обозначения кообласти.

Обозначение изображения и обратного изображения

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, не различают исходную функцию от функции, отображающей множества; равно как они не различают обратную функцию (если она существует) от функции обратного отображения (которая также оперирует с множествами степеней). В подходящем контексте это упрощает обозначения и обычно не вызывает путаницы. Однако, при необходимости, можно использовать явные имена для отображения и прообраза, рассматривая их как функции между множествами степеней.