Введение
Математическая формула, включающая заданный набор операций.
В математике выражение приводится к замкнутой форме, если оно построено из констант, переменных и конечного набора элементарных функций, связанных арифметическими операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) и целочисленными степенями, а также композицией функций. Обычно к разрешенным функциям относят корень n-й степени, экспоненциальную функцию, логарифм и тригонометрические функции. Однако набор элементарных функций зависит от контекста. Задача нахождения замкнутой формы возникает при введении новых способов задания математических объектов, таких как пределы, ряды и интегралы: если объект задан с использованием таких инструментов, то естественной задачей является поиск, если это возможно, выражения в замкнутой форме для этого объекта, то есть представление этого объекта в терминах ранее известных способов его задания.
Альтернативные определения
Изменение определения понятия "известной функции" с включением дополнительных функций может изменить набор уравнений, имеющих решения в замкнутой форме. Многие функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если не считать специальные функции, такие как функция ошибок или гамма-функция, известными. Квинтическое уравнение можно решить, если допустить использование обобщенных гипергеометрических функций, хотя полученное решение будет слишком сложным в алгебраическом плане, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне допустимо считать гамма-функцию и другие специальные функции известными, поскольку широко доступны их численные реализации.
Аналитическое выражение
Аналитическое выражение (также известное как выражение в аналитической форме или аналитическая формула) — это математическое выражение, построенное с использованием общеизвестных операций, которые легко поддаются вычислению. Подобно выражениям в замкнутой форме, набор разрешенных общеизвестных функций может варьироваться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в степень с действительным показателем (которое включает извлечение корня n-й степени), логарифмы и тригонометрические функции. Однако класс выражений, рассматриваемых как аналитические, как правило, шире, чем для выражений в замкнутой форме. В частности, обычно допускаются специальные функции, такие как функции Бесселя и гамма-функция, а также часто бесконечные ряды и цепные дроби. С другой стороны, пределы в общем случае и интегралы в частности, обычно исключаются. Если аналитическое выражение включает только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с рациональным показателем) и рациональные константы, то оно более конкретно называется алгебраическим выражением.
Сравнение различных классов выражений
Выражения в замкнутой форме являются важным подклассом аналитических выражений, содержащих конечное число применений общеизвестных функций. В отличие от более широкого класса аналитических выражений, выражения в замкнутой форме не включают бесконечные ряды или непрерывные дроби, а также интегралы или пределы. Действительно, согласно теореме Стоуна — Вейерштрасса, любую непрерывную функцию на единичном интервале можно представить как предел полиномов, следовательно, любой класс функций, содержащий полиномы и замкнутый относительно пределов, обязательно будет включать все непрерывные функции. Аналогично, уравнение или система уравнений считается имеющей решение в замкнутой форме, если и только если хотя бы одно решение может быть выражено в виде выражения в замкнутой форме; и считается имеющей аналитическое решение, если и только если хотя бы одно решение может быть выражено в виде аналитического выражения. Существует тонкое различие между "функцией в замкнутой форме" и "числом в замкнутой форме" при обсуждении "решения в замкнутой форме", которое рассматривается в данной работе и далее. Решение в замкнутой форме или аналитическое решение иногда называют явным решением.
Математическое моделирование и компьютерное моделирование
Уравнения или системы, слишком сложные для получения точного или аналитического решения, часто можно исследовать с помощью математического моделирования и компьютерного моделирования (пример в физике см.).
Номер закрытой формы
Три подполя комплексных чисел 'C' были предложены для кодирования понятия "числа в замкнутой форме"; в возрастающем порядке общности это числа Лиувиля (не путать с числами Лиувиля в смысле рационального приближения), числа EL и элементарные числа. Числа Лиувиля, обозначаемые 'L', образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе 'C', замкнутое относительно возведения в степень и логарифмирования (формально, пересечение всех таких подполей) — то есть числа, включающие явное возведение в степень и логарифмы, но допускающие явные и неявные полиномиальные выражения (корни полиномов); это подполе 'L' первоначально называлось элементарными числами, но этот термин теперь используется в более широком смысле для обозначения чисел, определенных явно или неявно с помощью алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в [ссылка], обозначаемое 'E' и называемое числами EL, является наименьшим подполем 'C', замкнутым относительно возведения в степень и логарифмирования — оно не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явным алгебраическим, экспоненциальным и логарифмическим операциям. "EL" расшифровывается как "экспоненциально-логарифмическое" и является аббревиатурой слова "элементарный". То, является ли число числом в замкнутой форме, связано с тем, является ли оно трансцендентным. Формально, числа Лиувиля и элементарные числа содержат алгебраические числа и включают в себя некоторые, но не все трансцендентные числа. В отличие от них, числа EL не содержат все алгебраические числа, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа в замкнутой форме можно изучать с помощью трансцендентной теории чисел, в которой важным результатом является теорема Гельфонда — Шнайдера, а важным нерешенным вопросом — гипотеза Шануэля.
Числовые вычисления
Для численных вычислений, представление в замкнутой форме не всегда необходимо, поскольку многие пределы и интегралы могут быть эффективно вычислены. Некоторые уравнения не имеют аналитического решения, например, уравнения, описывающие задачу трех тел или модель Ходжкина — Хаксли. Следовательно, будущие состояния этих систем необходимо вычислять численными методами.
Перевод с цифровой формы
Существует программное обеспечение, которое пытается найти аналитические выражения для численных значений, включая RIES, в Maple и SymPy, Plouffe's Inverter и Inverse Symbolic Calculator.