Принцип взрыва: из противоречия следует всё.

Введение

Теорема, утверждающая, что любое утверждение может быть доказано из противоречия.

В классической логике, интуиционистской логике и подобных логических системах принцип взрыва (ex falso [sequitur] quodlibet, «из ложного следует все что угодно»; или ex contradictione [sequitur] quodlibet), или принцип Псевдо-Скота (неверно приписываемый Дунсу Скоту), — это закон, согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия. То есть из противоречия можно вывести любое высказывание (включая его отрицание); это известно как дедуктивный взрыв. Доказательство этого принципа впервые было дано французским философом XII века Вильгельмом из Суассона. В силу принципа взрыва, существование противоречия (несостоятельности) в формальной аксиоматической системе является катастрофическим; поскольку любое утверждение может быть доказано, это обесценивает понятия истины и лжи. Около рубежа XX века открытие противоречий, таких как парадокс Рассела в основаниях математики, таким образом, угрожало всей структуре математики. Математики, такие как Готлоб Фреге, Эрнст Цермело, Авраам Френкель и Торальф Сколем, приложили значительные усилия к пересмотру теории множеств с целью устранения этих противоречий, что привело к созданию современной теории множеств Цермело — Френкеля. В качестве демонстрации этого принципа рассмотрим два противоречивых утверждения: «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые», и предположим, что оба истинны. Если это так, то можно доказать что угодно, например, утверждение о том, что «единороги существуют», используя следующий аргумент:
Мы знаем, что «Не все лимоны желтые», поскольку это предположено истинным. Мы знаем, что «Все лимоны желтые», поскольку это предположено истинным. Следовательно, составное утверждение «Все лимоны желтые или существуют единороги» также должно быть истинным, поскольку первая часть утверждения («Все лимоны желтые») уже была принята, а использование «или» означает, что если хотя бы одна часть утверждения истинна, то и утверждение в целом должно быть истинным. Однако, поскольку мы также знаем, что «Не все лимоны желтые» (как это было предположено), первая часть ложна, и, следовательно, вторая часть должна быть истинной, чтобы обеспечить истинность составного утверждения, то есть существуют единороги (этот вывод известен как дизъюнктивный силлогизм). Процедуру можно повторить, чтобы доказать, что единорогов не существует (следовательно, доказывая дополнительное противоречие, согласно которому единороги существуют и не существуют), а также любую другую корректно сформированную формулу. Таким образом, происходит взрыв истинных утверждений. В качестве альтернативного решения проблем, порожденных принципом взрыва, некоторые математики разработали альтернативные теории логики, называемые параконсистентными логиками, которые позволяют доказывать некоторые противоречивые утверждения, не затрагивая истинность (всех) остальных утверждений. Для любых утверждений P и Q, если P и не-P оба истинны, то логически следует, что Q истинно.

In classical logic, intuitionistic logic and similar logical systems, the principle of explosion (ex falso [sequitur] quodlibet, 'from falsehood, anything [follows]'; or ex contradictione [sequitur] quodlibet), or the principle of Pseudo Scotus (falsely attributed to Duns Scotus), is the law according to which any statement can be proven from a contradiction. That is, from a contradiction, any proposition (including its negation) can be inferred; this is known as deductive explosion. The proof of this principle was first given by 12th century French philosopher William of Soissons. Due to the principle of explosion, the existence of a contradiction (inconsistency) in a formal axiomatic system is disastrous; since any statement can be proven, it trivializes the concepts of truth and falsity. Around the turn of the 20th century, the discovery of contradictions such as Russell's paradox at the foundations of mathematics thus threatened the entire structure of mathematics. Mathematicians such as Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel, and Thoralf Skolem put much effort into revising set theory to eliminate these contradictions, resulting in the modern Zermelo–Fraenkel set theory. As a demonstration of the principle, consider two contradictory statements—"All lemons are yellow" and "Not all lemons are yellow"—and suppose that both are true. If that is the case, anything can be proven, e. g., the assertion that "unicorns exist", by using the following argument:
We know that "Not all lemons are yellow", as it has been assumed to be true. We know that "All lemons are yellow", as it has been assumed to be true. Therefore, the two part statement "All lemons are yellow or unicorns exist" must also be true, since the first part of the statement ("All lemons are yellow") has already been assumed, and the use of "or" means that if even one part of the statement is true, the statement as a whole must be true as well. However, since we also know that "Not all lemons are yellow" (as this has been assumed), the first part is false, and hence the second part must be true to ensure the two part statement to be true, i. e., unicorns exist (this inference is known as the Disjunctive syllogism). The procedure may be repeated to prove that unicorns do not exist (hence proving an additional contradiction where unicorns do and do not exist), as well as any other well formed formula. Thus, there is an explosion of true statements. In a different solution to the problems posed by the principle of explosion, some mathematicians have devised alternative theories of logic called paraconsistent logics, which allow some contradictory statements to be proven without affecting the truth value of (all) other statements. For any statements P and Q, if P and not P are both true, then it logically follows that Q is true.

Семантический аргумент

Другой аргумент в пользу принципа исходит из теории моделей. Предложение является семантическим следствием множества предложений только в том случае, если каждая модель Γ является моделью Φ. Однако, не существует модели противоречивого множества. А следовательно, не существует модели Γ, которая не является моделью Φ. Таким образом, вакуумно, каждая модель Γ является моделью Φ. Следовательно, Φ является семантическим следствием Γ.

Парапоследовательная логика

Разработаны параконсистентные логики, допускающие операторы, формирующие субконтрарные утверждения. Модельно-теоретические параконсистентные логики часто отвергают предположение о невозможности существования модели противоречия и разрабатывают семантические системы, в которых такие модели существуют. В качестве альтернативы они отказываются от идеи классификации предложений как истинных или ложных. Доказательно-теоретические параконсистентные логики обычно отрицают допустимость одного из шагов, необходимых для вывода взрыва, как правило, включая дизъюнктивный силлогизм, введение дизъюнкции и доказательство от противного.

Использование

Метаматематическая ценность принципа взрыва состоит в том, что для любой логической системы, в которой этот принцип выполняется, любая выводимая теория, доказывающая ⊥ (или эквивалентную форму), бесполезна, поскольку все её утверждения становятся теоремами, делая невозможным различие между истиной и ложью. Иными словами, принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечия в классической логике, так как без него все истинные утверждения теряют смысл. Уменьшение силы доказательств в логиках, не содержащих ex falso, рассматривается в минимальной логике.