Введение
Понятие в аксиоматической теории множеств. Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств аксиоматическая схема спецификации, также известная как аксиоматическая схема разделения, аксиоматическая схема подмножеств или аксиоматическая схема ограниченного выделения, является аксиоматической схемой. По сути, она утверждает, что любой определяемый подкласс множества является множеством. Некоторые математики называют её аксиоматической схемой выделения, хотя другие используют этот термин для неограниченного выделения, обсуждаемого ниже. Поскольку ограничение выделения позволило избежать парадокса Рассела, ряд математиков, включая Цермело, Френкеля и Гёделя, считали её наиболее важной аксиомой теории множеств.
In many popular versions of axiomatic set theory, the axiom schema of specification, also known as the axiom schema of separation, subset axiom scheme or axiom schema of restricted comprehension is an axiom schema. Essentially, it says that any definable subclass of a set is a set. Some mathematicians call it the axiom schema of comprehension, although others use that term for unrestricted comprehension, discussed below. Because restricting comprehension avoided Russell's paradox, several mathematicians including Zermelo, Fraenkel, and Gödel considered it the most important axiom of set theory.
В более высоких настройках
В типизированном языке, где мы можем квантифицировать предикаты, схема аксиомы спецификации превращается в простую аксиому. Это во многом тот же прием, что и в аксиомах NBG из предыдущего раздела, где предикат был заменен классом, над которым затем проводилась квантификация. В логике второго порядка и логике высших порядков с семантикой высших порядков аксиома спецификации является логической истиной и не требует явного включения в теорию.
В "Новых основах" Квина
В подходе New Foundations к теории множеств, разработанном В. В. О. Куайном, аксиома выделения для данного предиката принимает неограниченную форму, но сами предикаты, используемые в схеме, подвергаются ограничениям. Предикат (C не принадлежит C) запрещен, поскольку один и тот же символ C встречается по обе стороны от символа принадлежности (и, следовательно, на разных "относительных уровнях"); таким образом, парадокс Рассела избегается. Однако, если принять за , что допустимо, можно сформировать множество всех множеств. Подробности см. в разделе "Стратификация".