Математические выражения и формулы: определение и семантика
Expression (mathematics)
Математические выражения и формулы: определение, символы, отличие. Объяснение понятий в математике и компьютерной алгебре. Основы математической логики.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Формула, представляющая математический объект.
Formula that represents a mathematical object
В математике выражение, или математическое выражение, — это конечная комбинация символов, правильно составленная в соответствии с правилами, зависящими от контекста. Математические символы могут обозначать числа (константы), переменные, операции, функции, скобки, знаки препинания и группировку, чтобы помочь определить порядок действий и другие аспекты логического синтаксиса. Многие авторы различают выражение и формулу: первое обозначает математический объект, а второе — утверждение о математических объектах. Например, является выражением, а — формулой. Однако в современной математике, и особенно в компьютерной алгебре, формулы рассматриваются как выражения, которые могут быть оценены как истинные или ложные в зависимости от значений, присвоенных переменным, входящим в выражение. Например, принимает значение false, если x имеет значение меньше –1, и значение true в противном случае.
In mathematics, an expression or mathematical expression is a finite combination of symbols that is well formed according to rules that depend on the context. Mathematical symbols can designate numbers (constants), variables, operations, functions, brackets, punctuation, and grouping to help determine order of operations and other aspects of logical syntax. Many authors distinguish an expression from a formula, the former denoting a mathematical object, and the latter denoting a statement about mathematical objects. For example, is an expression, while is a formula. However, in modern mathematics, and in particular in computer algebra, formulas are viewed as expressions that can be evaluated to true or false, depending on the values that are given to the variables occurring in the expressions. For example takes the value false if x is given a value less than –1, and the value true otherwise.
Семантика
Семантика – это изучение смысла. Формальная семантика занимается приписыванием значения выражениям. В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, входящим в выражение. Определение этого значения зависит от семантики, привязанной к символам выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение, например 1 + 2 × 3, может иметь разные значения (математически 7, но также и 9) в зависимости от порядка операций, подразумеваемого контекстом (см. также Операции § Калькуляторы). Семантические правила могут устанавливать, что определенные выражения не обозначают никакого значения (например, при делении на 0); такие выражения называют неопределенными, однако они остаются синтаксически корректными. В общем случае смысл выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие, уравнение, подлежащее решению, или рассматриваться как самостоятельный объект, с которым можно оперировать по определенным правилам. Некоторые выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое считается выполняемым, например, те, которые включают оператор для обозначения внутренней прямой суммы.
Semantics is the study of meaning. Formal semantics is about attaching meaning to expressions. In algebra, an expression may be used to designate a value, which might depend on values assigned to variables occurring in the expression. The determination of this value depends on the semantics attached to the symbols of the expression. The choice of semantics depends on the context of the expression. The same syntactic expression 1 + 2 × 3 can have different values (mathematically 7, but also 9), depending on the order of operations implied by the context (See also Operations § Calculators). The semantic rules may declare that certain expressions do not designate any value (for instance when they involve division by 0); such expressions are said to have an undefined value, but they are well formed expressions nonetheless. In general the meaning of expressions is not limited to designating values; for instance, an expression might designate a condition, or an equation that is to be solved, or it can be viewed as an object in its own right that can be manipulated according to certain rules. Certain expressions that designate a value simultaneously express a condition that is assumed to hold, for instance those involving the operator to designate an internal direct sum.
Формальные языки и ламбда-калькул
Формальные языки позволяют формализовать понятие корректных выражений. В 1930-х годах Алонзо Черч и Стивен Клин ввели новый тип выражений, называемых лямбда-выражениями, для формализации функций и вычисления их значений. Они составляют основу лямбда-исчисления, формальной системы, используемой в математической логике и теории языков программирования. Вопрос о равноценности двух лямбда-выражений неразрешим. То же самое справедливо и для выражений, представляющих вещественные числа, которые строятся из целых чисел с помощью арифметических операций, логарифма и экспоненты (теорема Ричардсона).
Formal languages allow formalizing the concept of well formed expressions. In the 1930s, a new type of expressions, called lambda expressions, were introduced by Alonzo Church and Stephen Kleene for formalizing functions and their evaluation. They form the basis for lambda calculus, a formal system used in mathematical logic and the theory of programming languages. The equivalence of two lambda expressions is undecidable. This is also the case for the expressions representing real numbers, which are built from the integers by using the arithmetical operations, the logarithm and the exponential (Richardson's theorem).