Введение

Три группы
три необычных бесконечных группы F, T и V, обнаруженные Томпсоном

В математике группы Томпсона (также называемые группами Томпсона, группами странников или группами-хамелеонами) — это три группы, обычно обозначаемые , которые были введены Ричардом Томпсоном в неопубликованных рукописных заметках в 1965 году как возможный контрпример к гипотезе фон Неймана. Из этих трех, группа F наиболее широко изучена и иногда называется просто группой Томпсона. Группы Томпсона, и особенно F, обладают рядом необычных свойств, которые сделали их контрпримерами ко многим общим гипотезам в теории групп. Все три группы Томпсона бесконечны, но конечно представимы. Группы T и V являются (редкими) примерами бесконечных, но конечно представимых простых групп. Группа F не является простой, но её производная подгруппа [F,F] проста, а факторгруппа F по её производной подгруппе является свободной абелевой группой ранга 2. F тотально упорядочена, имеет экспоненциальный рост и не содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга 2. Предполагается, что F не является податливой и, следовательно, является ещё одним контрпримером к давней, но недавно опровергнутой гипотезе фон Неймана для конечно представимых групп: известно, что F не является элементарно податливой. Ввел бесконечное семейство конечно представимых простых групп, включая группу Томпсона V как частный случай.

Другие представления

Группа F также имеет реализации в терминах операций над упорядоченными корневыми двоичными деревьями, и как подгруппа кусочно-линейных гомеоморфизмов единичного интервала, сохраняющих ориентацию, чьи точки недифференцируемости являются диaдическими рациональными числами, а наклоны – всеми степенями 2. Группу F можно также рассматривать как действующую на единичную окружность путем отождествления двух конечных точек единичного интервала, при этом группа T является группой автоморфизмов единичной окружности, получаемой добавлением к F гомеоморфизма x→x+1/2 mod 1. На двоичных деревьях это соответствует обмену двух деревьев, находящихся ниже корня. Группа V получается из T добавлением разрывного отображения, которое фиксирует точки полуоткрытого интервала [0,1/2) и меняет местами интервалы [1/2,3/4) и [3/4,1] очевидным образом. На двоичных деревьях это соответствует обмену двух деревьев, находящихся ниже правого потомка корня (если он существует). Группа Томпсона F – это группа автоморфизмов, сохраняющих порядок, свободной алгебры Йонссона–Тарски с одним образующим.

Приятность

Предположение Томпсона о том, что F не является податливым, получило дальнейшую известность благодаря Р. Геогегану — см. также статью Кэннона — Флойда — Пэрри, указанную в списке литературы ниже. Его текущий статус остается открытым: Э. Шавгулидзе опубликовал в 2009 году статью, в которой утверждал, что доказал податливость F, однако была обнаружена ошибка, как указано в рецензии MR. Известно, что F не является элементарно податливым, см. теорему 4.10 в Cannon–Floyd–Parry. Если F не является податливым, то это станет еще одним контрпримером к ныне опровергнутой гипотезе фон Неймана для конечно представленных групп, которая утверждала, что конечно представленная группа податлива тогда и только тогда, когда она не содержит копию свободной группы ранга 2.

Связи с топологией

Группа F была вновь открыта топологами как минимум дважды в 1970-х годах. В статье, опубликованной значительно позже, но циркулировавшей в виде препринта в то время, П. Фрейд и А. Хеллер показали, что сдвиг на F индуцирует неразложимый гомотопический идемпотент на пространстве Эйленберга — Маклейна K(F,1) и что этот идемпотент универсален в определенном смысле. Это подробно описано в книге Геогегана (см. ссылки ниже). Независимо от этого, Дж. Дайдэк и П. Минк создали менее известную модель F в связи с задачей в теории форм. В 1979 году Р. Геогеган выдвинул четыре гипотезы относительно F: (1) F имеет тип FP∞; (2) все гомотопические группы F в бесконечности тривиальны; (3) F не имеет неабелевых свободных подгрупп; (4) F не является податливой. Гипотеза (1) была доказана К.С. Брауном и Р. Геогеганом в сильной форме: существует K(F,1) с двумя ячейками в каждой положительной размерности. Гипотеза (2) также была доказана Брауном и Геогеганом в том смысле, что кохомология H*(F,ZF) оказалась тривиальной; поскольку предыдущая теорема М. Михалика подразумевает, что F простосвязна в бесконечности, а полученный результат подразумевает, что вся гомология в бесконечности обращается в нуль, следует утверждение о гомотопических группах. Гипотеза (3) была доказана М. Брином и К. Скьером. Статус гипотезы (4) обсуждается выше. Неизвестно, удовлетворяет ли F гипотезе Фаррелла — Джонса. Даже неизвестно, является ли тривиальной группа Уайтхеда F (см. торсия Уайтхеда) или проективная класс-группа F (см. конечность обструкции Уолла), хотя легко показать, что F удовлетворяет сильной гипотезе Басса. Д. Фарли показал, что F действует как преобразования накрытия на локально конечном CAT(0) кубическом комплексе (неизбежно бесконечной размерности). Следствием этого является то, что F удовлетворяет гипотезе Баума — Коннеса.