Джон Нэш: Жизнь и вклад в математику

Введение

Американский математик и лауреат Нобелевской премии (1928–2015)

Джон Форбс Нэш-младший (13 июня 1928 года – 23 мая 2015 года), известный как Джон Нэш, был американским математиком, внесшим фундаментальный вклад в теорию игр, реальную алгебраическую геометрию, дифференциальную геометрию и уравнения в частных производных. Нэш и его коллеги по теории игр Джон Харсаньи и Рейнхард Зельтен были удостоены Нобелевской мемориальной премии по экономике в 1994 году. В 2015 году он и Луи Ниренберг были удостоены премии Абеля за вклад в область уравнений в частных производных. Будучи аспирантом на математическом факультете Принстонского университета, Нэш представил ряд концепций (включая равновесие Нэша и решение Нэша в теории переговоров), которые теперь считаются основополагающими для теории игр и ее применения в различных науках. В 1950-х годах Нэш открыл и доказал теоремы о вложении Нэша, решив систему нелинейных уравнений в частных производных, возникающих в римановой геометрии. Эта работа, также представляющая предварительную форму теоремы Нэша — Мозера, позднее была отмечена Американским математическим обществом премией Лероя П. Стила за выдающийся вклад в исследования. Эннио Де Джорджи и Нэш независимо друг от друга получили ряд результатов, подготовивших почву для систематического понимания эллиптических и параболических уравнений в частных производных. Их теорема Де Джорджи — Нэша о гладкости решений таких уравнений разрешила девятнадцатую проблему Гильберта о регулярности в вариационном исчислении, которая на протяжении почти шестидесяти лет оставалась нерешенной. В 1959 году у Нэша проявились явные признаки психического расстройства, и он несколько лет провел в психиатрических больницах, где лечился от шизофрении. После 1970 года его состояние постепенно улучшилось, что позволило ему вернуться к научной работе к середине 1980-х годов.

Ранние годы и образование

Джон Форбс Нэш-младший родился 13 июня 1928 года в Блюфилде, штат Западная Вирджиния. Его отец и тезка, Джон Форбс Нэш-старший, был инженером-электриком в компании Appalachian Electric Power. Его мать, Маргарет Вирджиния (урожденная Мартин) Нэш, до замужества работала школьной учительницей. Он был крещен в Епископальной церкви. У него была младшая сестра, Марта (родилась 16 ноября 1930 года). Нэш посещал детский сад и государственную школу, а также занимался по книгам, которые ему предоставили родители и дедушки с бабушкой. Нэш также был принят в Гарвардский университет. Однако председатель математического факультета Принстонского университета Соломон Лефшец предложил ему стипендию имени Джона С. Кеннеди, убедив Нэша в том, что его больше ценят в Принстоне. Кроме того, он отдавал предпочтение Принстону из-за его близости к семье в Блюфилде.

Взносы на исследования

Нэш не публиковался широко, хотя многие из его работ считаются знаковыми в своих областях. Будучи аспирантом в Принстоне, он сделал основополагающие открытия в теории игр и вещественной алгебраической геометрии. Работая постдоком в Массачусетском технологическом институте, Нэш обратился к дифференциальной геометрии. Хотя результаты работы Нэша по дифференциальной геометрии изложены на геометрическом языке, эта работа почти полностью посвящена математическому анализу уравнений в частных производных. После доказательства двух теорем об изометрическом вложении Нэш переключился на исследования, непосредственно связанные с уравнениями в частных производных, где он открыл и доказал теорему Де Джорджи — Нэша, тем самым решив одну из формулировок девятнадцатой проблемы Гильберта. В 2011 году Агентство национальной безопасности рассекретило письма, написанные Нэшем в 1950-х годах, в которых он предлагал новую машину для шифрования и дешифрования. Эти письма показывают, что Нэш предвидел многие концепции современной криптографии, основанные на вычислительной сложности.

Теория игр

Нэш получил докторскую степень в 1950 году, защитив 28-страничную диссертацию о некооперативных играх. Диссертация, написанная под руководством научного руководителя Альберта В. Таккера, содержала определение и свойства равновесия Нэша – ключевого понятия в теории некооперативных игр. Версия его диссертации была опубликована годом позже в журнале "Анналы математики". В начале 1950-х годов Нэш проводил исследования по ряду связанных с теорией игр концепций, включая теорию кооперативных игр. За эти работы Нэш в 1994 году был удостоен Нобелевской мемориальной премии по экономическим наукам.

Реальная алгебраическая геометрия

В 1949 году, будучи еще аспирантом, Нэш обнаружил новый результат в математической области реальной алгебраической геометрии. Он представил свою теорему в докладе на Международном конгрессе математиков в 1950 году, хотя детали доказательства еще не были полностью проработаны. Теорема Нэша была окончательно сформулирована к октябрю 1951 года, когда Нэш представил свою работу в журнал "Анналы математики". С 1930-х годов было известно, что любое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно нулевому множеству некоторого набора гладких функций на евклидовом пространстве. В своей работе Нэш доказал, что эти гладкие функции могут быть полиномами. Это считалось весьма неожиданным результатом, поскольку класс гладких функций и гладких многообразий обычно гораздо более гибок, чем класс полиномов. Доказательство Нэша ввело понятия, известные как функция Нэша и многообразие Нэша, которые впоследствии широко изучались в реальной алгебраической геометрии. Сама теорема Нэша получила известность благодаря применению Майкла Артина и Барри Мазура к изучению динамических систем, посредством объединения полиномиальной аппроксимации Нэша с теоремой Безу.

Дифференциальная геометрия

Во время своей постдокторантуры в МТИ Нэш стремился найти заметные математические проблемы для изучения. У Уоррена Амброза, специалиста по дифференциальной геометрии, он узнал о гипотезе, согласно которой любое риманово многообразие изометрично подмногообразию евклидова пространства. Результаты Нэша, доказывающие эту гипотезу, теперь известны как теоремы вложения Нэша, вторую из которых Михаил Громов назвал «одним из главных достижений математики двадцатого века». Первая теорема вложения Нэша была получена в 1953 году. Он показал, что любое риманово многообразие можно изометрически вложить в евклидово пространство посредством непрерывно дифференцируемого отображения. Конструкция Нэша позволяет коразмерности вложения быть очень малой, что приводит к тому, что во многих случаях логически невозможно существование высоко дифференцируемого изометрического вложения. (Основываясь на методах Нэша, Николас Куйпер вскоре нашёл ещё меньшие коразмерности, а улучшенный результат часто известен как теорема Нэша — Куйпера.) Таким образом, вложения Нэша ограничены случаем малой дифференцируемости. По этой причине результат Нэша несколько выходит за рамки основного направления в области дифференциальной геометрии, где высокая дифференцируемость важна для большей части стандартного анализа. Однако логика работы Нэша оказалась полезной во многих других областях математического анализа. Начиная с работ Камилло Де Леллиса и Ласло Секелихиди, идеи доказательства Нэша были применены для различных построений турбулентных решений уравнений Эйлера в гидродинамике. В 1970-х годах Михаил Громов развил идеи Нэша в общую структуру выпуклой интеграции.

Нэш обнаружил, что построение гладко дифференцируемых изометрических вложений неожиданно сложно. Однако, после примерно полутора лет напряжённой работы, его усилия увенчались успехом, тем самым доказав вторую теорему вложения Нэша. Идеи, используемые для доказательства второй теоремы, в значительной степени отличаются от тех, которые использовались для доказательства первой. Фундаментальным аспектом доказательства является теорема о неявной функции для изометрических вложений. Обычные формулировки теоремы о неявных функциях неприменимы по техническим причинам, связанным с потерей регулярности. Решение Нэша этой проблемы, заключающееся в деформации изометрического вложения обыкновенным дифференциальным уравнением, вдоль которого постоянно добавляется дополнительная регулярность, считается принципиально новым методом в математическом анализе. Работа Нэша была удостоена премии Лероя П. Стила за выдающийся вклад в исследования в 1999 году, где его «самая оригинальная идея» в решении проблемы потери регулярности была названа «одним из величайших достижений математического анализа в этом веке». Вскоре после этого Нэш узнал от Пола Гарабедиана, недавно вернувшегося из Италии, что тогда ещё неизвестный Эннио Де Джорджи получил почти идентичные результаты для эллиптических уравнений в частных производных. Методы Де Джорджи и Нэша мало пересекались, хотя методы Нэша были несколько более мощными применительно как к эллиптическим, так и к параболическим уравнениям. Через несколько лет, вдохновлённый методом Де Джорджи, Юрген Мозер нашёл другой подход к тем же результатам, и полученная работа теперь известна как теорема Де Джорджи — Нэша или теория Де Джорджи — Нэша — Мозера (которая отличается от теоремы Нэша — Мозера). Методы Де Джорджи и Мозера стали особенно влиятельными в последующие годы благодаря их развитию в работах Ольги Ледиженской, Джеймса Серрина и Нила Трудингера, среди других. Их работа, основанная главным образом на разумном выборе тестовых функций в слабой формулировке уравнений в частных производных, резко контрастирует с работой Нэша, основанной на анализе теплового ядра. Подход Нэша к теории Де Джорджи — Нэша был позже пересмотрен Юджином Фабесом и Дэниелом Строком, что привело к повторному выводу и обобщению результатов, первоначально полученных с помощью методов Де Джорджи и Мозера. Тот факт, что минимизаторы многих функционалов в вариационном исчислении решают эллиптические уравнения в частных производных, сделал девятнадцатую проблему Гильберта (о гладкости этих минимизаторов), предложенную почти шестьдесят лет назад, непосредственно доступной для теории Де Джорджи — Нэша. Нэш получил немедленное признание за свою работу, и Питер Лакс описал её как «гениальный прорыв». Позже Нэш предположил, что если бы не одновременное открытие Де Джорджи, он мог бы стать лауреатом престижной Филдсовской медали в 1958 году.

Nash found the construction of smoothly differentiable isometric embeddings to be unexpectedly difficult. However, after around a year and a half of intensive work, his efforts succeeded, thereby proving the second Nash embedding theorem. The ideas involved in proving this second theorem are largely separate from those used in proving the first. The fundamental aspect of the proof is an implicit function theorem for isometric embeddings. The usual formulations of the implicit function theorem are inapplicable, for technical reasons related to the loss of regularity phenomena. Nash's resolution of this issue, given by deforming an isometric embedding by an ordinary differential equation along which extra regularity is continually injected, is regarded as a fundamentally novel technique in mathematical analysis. Nash's paper was awarded the Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research in 1999, where his "most original idea" in the resolution of the loss of regularity issue was cited as "one of the great achievements in mathematical analysis in this century". Soon after, Nash learned from Paul Garabedian, recently returned from Italy, that the then unknown Ennio De Giorgi had found nearly identical results for elliptic partial differential equations. De Giorgi and Nash's methods had little to do with one another, although Nash's were somewhat more powerful in applying to both elliptic and parabolic equations. A few years later, inspired by De Giorgi's method, Jürgen Moser found a different approach to the same results, and the resulting body of work is now known as the De Giorgi–Nash theorem or the De Giorgi–Nash–Moser theory (which is distinct from the Nash–Moser theorem). De Giorgi and Moser's methods became particularly influential over the next several years, through their developments in the works of Olga Ladyzhenskaya, James Serrin, and Neil Trudinger, among others. Their work, based primarily on the judicious choice of test functions in the weak formulation of partial differential equations, is in strong contrast to Nash's work, which is based on analysis of the heat kernel. Nash's approach to the De Giorgi–Nash theory was later revisited by Eugene Fabes and Daniel Stroock, initiating the re derivation and extension of the results originally obtained from De Giorgi and Moser's techniques. From the fact that minimizers to many functionals in the calculus of variations solve elliptic partial differential equations, Hilbert's nineteenth problem (on the smoothness of these minimizers), conjectured almost sixty years prior, was directly amenable to the De Giorgi–Nash theory. Nash received instant recognition for his work, with Peter Lax describing it as a "stroke of genius". Nash would later speculate that had it not been for De Giorgi's simultaneous discovery, he would have been a recipient of the prestigious Fields Medal in 1958.

Личная жизнь

В 1951 году Массачусетский технологический институт (MIT) нанял Нэша в качестве преподавателя математики (C. L. E. Moore instructor) на факультете математики. Примерно через год Нэш начал отношения с Элеонорой Стир, медсестрой, с которой он познакомился, будучи пациентом. У них родился сын, Джон Дэвид Стир. Фильм, основанный на жизни Нэша, «Игры разума», подвергся критике в преддверии премии «Оскар» 2002 года за то, что в нём был опущен этот эпизод из его жизни. Утверждалось, что он бросил её из-за её социального положения, которое он считал недостойным себя. В Санта-Монике, Калифорния, в 1954 году, в возрасте двадцати лет, Нэш был арестован за непристойное поведение в ходе полицейской операции против геев. Хотя обвинения были сняты, его лишили допуска к секретным сведениям и уволили из корпорации RAND, где он работал консультантом. Вскоре после расставания со Стир Нэш встретил Алисию Ларде Лопес Харрисон, натурализованную гражданку США из Сальвадора. Ларде окончила МТИ, получив степень бакалавра в области физики. Свадьба состоялась в епископальной церкви. В 1958 году Нэш был утвержден на бессрочную должность в МТИ, и вскоре после этого проявились первые признаки его психического заболевания. Весной 1959 года он покинул МТИ. Принстонский университет разрешил ему посещать занятия в качестве слушателя. Он продолжал заниматься математикой и в конечном итоге ему снова разрешили преподавать. В 1990-х годах Ларде и Нэш возобновили отношения и вновь поженились в 2001 году. Джон Чарльз Мартин Нэш получил докторскую степень по математике в Университете Ратгерса и был диагностирован с шизофренией во взрослом возрасте. К моменту смерти Нэш долгое время проживал в Нью-Джерси. У него остались два сына: Джон Чарльз Мартин Нэш, который жил с родителями на момент их смерти, и старший сын, Джон Стир. После его смерти некрологи появились в научных и популярных СМИ по всему миру. Помимо некролога Нэша, газета The New York Times опубликовала статью, содержащую цитаты Нэша, собранные из средств массовой информации и других опубликованных источников. Эти цитаты представляли собой размышления Нэша о его жизни и достижениях.

In 1951, the Massachusetts Institute of Technology (MIT) hired Nash as a C. L. E. Moore instructor in the mathematics faculty. About a year later, Nash began a relationship with Eleanor Stier, a nurse he met while admitted as a patient. They had a son, John David Stier, The film based on Nash's life, A Beautiful Mind, was criticized during the run up to the 2002 Oscars for omitting this aspect of his life. He was said to have abandoned her based on her social status, which he thought to have been beneath his. In Santa Monica, California, in 1954, while in his twenties, Nash was arrested for indecent exposure in a sting operation targeting gay men. Although the charges were dropped, he was stripped of his top secret security clearance and fired from RAND Corporation, where he had worked as a consultant. Not long after breaking up with Stier, Nash met Alicia Lardé Lopez Harrison, a naturalized U. S. citizen from El Salvador. Lardé graduated from MIT, having majored in physics. the ceremony was performed in an Episcopal church. In 1958, Nash was appointed to a tenured position at MIT, and his first signs of mental illness soon became evident. He resigned his position at MIT in the spring of 1959. Princeton allowed him to audit classes. He continued to work on mathematics and was eventually allowed to teach again. In the 1990s, Lardé and Nash resumed their relationship, remarrying in 2001. John Charles Martin Nash earned a PhD in mathematics from Rutgers University and was diagnosed with schizophrenia as an adult. At the time of his death, Nash was a longtime resident of New Jersey. He was survived by two sons, John Charles Martin Nash, who lived with his parents at the time of their death, and elder child John Stier. Following his death, obituaries appeared in scientific and popular media throughout the world. In addition to their obituary for Nash, The New York Times published an article containing quotes from Nash that had been assembled from media and other published sources. The quotes consisted of Nash's reflections on his life and achievements.

Наследие

В Принстоне в 1970-х годах Нэш стал известен как "Призрак Файн-Холла" (математического центра Принстона), таинственная фигура, которая посреди ночи исписывала доски сложными уравнениями. Он упоминается в романе Ребекки Голдштейн "Проблема разума и тела", действие которого происходит в Принстоне и был опубликован в 1983 году. Биография Нэша, написанная Сильвией Насар и озаглавленная "Прекрасный ум", вышла в 1998 году. В 2001 году был выпущен фильм с тем же названием, снятый Роном Ховардом, где роль Нэша исполнил Рассел Кроу; фильм удостоился четырех премий "Оскар", включая "Лучший фильм". За исполнение роли Нэша Кроу получил премию "Золотой глобус" за лучшую мужскую роль в драматическом фильме на 59-й церемонии вручения, а также премию BAFTA за лучшую мужскую роль на 55-й церемонии вручения премии Британской киноакадемии. Кроу был номинирован на премию "Оскар" за лучшую мужскую роль на 74-й церемонии, однако победил Дензел Вашингтон за роль в фильме "Тренировочный день".