Теория категорий: Обобщение множеств и функций в математике.

Введение

Математический объект, обобщающий стандартные понятия множеств и функций.

В математике категория (иногда называемая абстрактной категорией для отличия от конкретной категории) представляет собой совокупность "объектов", связанных "стрелками". Категория обладает двумя основными свойствами: возможность ассоциативного композирования стрелок и существование нейтральной стрелки для каждого объекта. Простым примером служит категория множеств, объекты которой — множества, а стрелки — функции. Теория категорий — это раздел математики, стремящийся обобщить всю математику в терминах категорий, независимо от того, что представляют собой их объекты и стрелки. Практически любую область современной математики можно описать в терминах категорий, и это часто выявляет глубокие закономерности и сходства между, казалось бы, различными областями математики. Таким образом, теория категорий предоставляет альтернативное основание для математики по отношению к теории множеств и другим предложенным аксиоматическим основаниям. В общем случае объекты и стрелки могут быть абстрактными сущностями любого рода, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их взаимосвязей. Помимо формализации математики, теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, например, семантики языков программирования. Две категории считаются одинаковыми, если у них совпадают совокупности объектов, стрелок и ассоциативный способ композиции любой пары стрелок. Две различные категории также могут считаться "эквивалентными" в контексте теории категорий, даже если они не имеют точно такой же структуры. Хорошо известные категории обозначаются коротким словом с заглавной буквы или аббревиатурой, выделенным жирным или курсивом: например, Set — категория множеств и функций между ними; Ring — категория колец и гомоморфизмов колец; Top — категория топологических пространств и непрерывных отображений. Во всех перечисленных категориях нейтральным элементом является тождественное отображение, а композиция — ассоциативной операцией над стрелками. Классический и до сих пор широко используемый учебник по теории категорий — «Категории для работающих математиков» Со́ндерса Мак-Ле́йна. Другие источники приведены в разделе «Литература». Основные определения, представленные в этой статье, содержатся в первых главах любой из этих книг. Любой моноид можно рассматривать как частный случай категории (с единственным объектом, чьи собственные морфизмы представлены элементами моноида), и то же справедливо для любого предпорядка.

In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a concrete category) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the category of sets, whose objects are sets and whose arrows are functions. Category theory is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent. Virtually every branch of modern mathematics can be described in terms of categories, and doing so often reveals deep insights and similarities between seemingly different areas of mathematics. As such, category theory provides an alternative foundation for mathematics to set theory and other proposed axiomatic foundations. In general, the objects and arrows may be abstract entities of any kind, and the notion of category provides a fundamental and abstract way to describe mathematical entities and their relationships. In addition to formalizing mathematics, category theory is also used to formalize many other systems in computer science, such as the semantics of programming languages. Two categories are the same if they have the same collection of objects, the same collection of arrows, and the same associative method of composing any pair of arrows. Two different categories may also be considered "equivalent" for purposes of category theory, even if they do not have precisely the same structure. Well known categories are denoted by a short capitalized word or abbreviation in bold or italics: examples include Set, the category of sets and set functions; Ring, the category of rings and ring homomorphisms; and Top, the category of topological spaces and continuous maps. All of the preceding categories have the identity map as identity arrows and composition as the associative operation on arrows. The classic and still much used text on category theory is Categories for the Working Mathematician by Saunders Mac Lane. Other references are given in the References below. The basic definitions in this article are contained within the first few chapters of any of these books. Any monoid can be understood as a special sort of category (with a single object whose self morphisms are represented by the elements of the monoid), and so can any preorder.

Малые и крупные категории

Категория C называется малой, если ob(C) и hom(C) являются множествами, а не собственными классами, и большой – в противном случае. Локально малая категория – это категория, для которой для любых объектов a и b класс hom(a, b) является множеством, называемым множеством гомоморфизмов (homset). Многие важные категории в математике (например, категория множеств), хотя и не являются малыми, по крайней мере локально малы. Поскольку в малых категориях объекты образуют множество, малую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру, аналогичную моноиду, но без требования свойств замкнутости. Большие категории, с другой стороны, могут использоваться для создания "структур" из алгебраических структур.

Двойная категория

Любая категория C сама по себе может рассматриваться как новая категория иным образом: объекты остаются теми же, что и в исходной категории, но стрелки рассматриваются в обратном направлении. Это называется двойственной или противоположной категорией и обозначается C<sup>op</sup>.

Категории продукции

Если C и D – категории, то можно построить категорию произведения C × D: объекты которой – это пары, состоящие из объекта из C и объекта из D, а морфизмы – пары, состоящие из морфизма в C и морфизма в D. Такие пары можно компоновать покомпонентно.

Типы категорий

Во многих категориях, например, Ab или VectK, гом-множества hom(a, b) являются не просто множествами, а фактически абелевыми группами, и композиция морфизмов совместима с этими групповыми структурами, то есть является билинейной. Такая категория называется преаддитивной. Если, кроме того, категория обладает всеми конечными произведениями и копроизведениями, она называется аддитивной категорией. Если все морфизмы имеют ядро и коядро, и все эпиморфизмы являются коядрами, а все мономорфизмы – ядрами, то мы говорим об абелевой категории. Типичным примером абелевой категории является категория абелевых групп. Категория называется полной, если в ней существуют все малые пределы. Категории множеств, абелевых групп и топологических пространств являются полными. Категория называется картезиански замкнутой, если она имеет конечные прямые произведения и морфизм, определенный на конечном произведении, всегда может быть представлен морфизмом, определенным только на одном из сомножителей. Примерами служат Set и CPO, категория полных частичных порядков с непрерывными функциями Скотта. Топос – это определенный тип картезиански замкнутой категории, в которой может быть сформулирована вся математика (так же, как классически вся математика формулируется в категории множеств). Топос также может использоваться для представления логической теории.