Введение
Математическая группа
В математике внешняя группа автоморфизмов группы G является факторгруппой Aut(G) / Inn(G), где Aut(G) — группа автоморфизмов G, а Inn(G) — подгруппа, состоящая из внутренних автоморфизмов. Внешняя группа автоморфизмов обычно обозначается Out(G). Если Out(G) тривиальна и G имеет тривиальный центр, то говорят, что G полна. Автоморфизм группы, который не является внутренним, называется внешним автоморфизмом. Косеты Inn(G) по внешним автоморфизмам являются элементами Out(G); это пример того, что факторгруппы, как правило, не являются (изоморфными) подгруппам. Если внутренняя группа автоморфизмов тривиальна (что происходит, когда группа абелева), то группа автоморфизмов и внешняя группа автоморфизмов естественным образом отождествляются; то есть внешняя группа автоморфизмов действительно действует на группу. Например, для чередующейся группы Aₙ внешняя группа автоморфизмов обычно является группой порядка 2, за исключением случаев, указанных ниже. Рассматривая Aₙ как подгруппу симметрической группы Sₙ, сопряжение любой нечётной перестановкой является внешним автоморфизмом Aₙ, или, точнее, «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизма» Aₙ, но этот внешний автоморфизм не соответствует сопряжению какой-либо конкретной нечётной перестановкой, и все сопряжения нечётными перестановками эквивалентны с точностью до сопряжения чётной перестановкой.
In mathematics, the outer automorphism group of a group, G, is the quotient, Aut(G) / Inn(G), where Aut(G) is the automorphism group of G and Inn(G) is the subgroup consisting of inner automorphisms. The outer automorphism group is usually denoted Out(G). If Out(G) is trivial and G has a trivial center, then G is said to be complete. An automorphism of a group that is not inner is called an outer automorphism. The cosets of Inn(G) with respect to outer automorphisms are then the elements of Out(G); this is an instance of the fact that quotients of groups are not, in general, (isomorphic to) subgroups. If the inner automorphism group is trivial (when a group is abelian), the automorphism group and outer automorphism group are naturally identified; that is, the outer automorphism group does act on the group. For example, for the alternating group, , the outer automorphism group is usually the group of order 2, with exceptions noted below. Considering as a subgroup of the symmetric group, , conjugation by any odd permutation is an outer automorphism of or more precisely "represents the class of the (non trivial) outer automorphism of ", but the outer automorphism does not correspond to conjugation by any particular odd element, and all conjugations by odd elements are equivalent up to conjugation by an even element.
Структура
Предположение Шрайера утверждает, что Out(G) всегда является разрешимой группой, когда G — конечная простая группа. В настоящее время известно, что этот результат верен как следствие классификации конечных простых групп, хотя более простого доказательства пока не найдено.
Как двойной центр
Внешняя группа автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: конъюгация элементом из G является автоморфизмом, что определяет отображение σ : G → Aut(G). Ядро этого отображения конъюгации является центром, а коядро – внешней группой автоморфизмов (а образ – внутренней группой автоморфизмов). Это можно представить в виде точной последовательности.
Приложения
Внешняя группа автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, следовательно, на таблицу характеров. Подробности см. в статье «Таблица характеров: внешние автоморфизмы».
Топология поверхностей
Внешняя группа автоморфизмов играет важную роль в топологии поверхностей, поскольку теорема Дена — Нильсена устанавливает связь: расширенная группа модулей поверхности изоморфна внешней группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
В конечных группах
Для внешних групп автоморфизма всех конечных простых групп см. Список конечных простых групп. Спорадические простые группы и чередующиеся группы (кроме чередующейся группы, см. ниже) все имеют внешние группы автоморфизма порядка 1 или 2. Внешняя группа автоморфизма конечной простой группы типа Ли является расширением группы "диагональных автоморфизмов" (циклической, за исключением , когда она имеет порядок 4), группы "полевых автоморфизмов" (всегда циклической) и группы "автоморфизмов графа" (порядка 1 или 2, за исключением , когда это симметричная группа на 3 точках). Эти расширения не всегда являются полупрямыми произведениями, как показывает случай чередующейся группы; точный критерий для этого был дан в 2003 году. Параметр группы Out(G) [[Бесконечная циклическая группа 2: тождество и внешний автоморфизм x ↦ −x n > 2 ; один, соответствующий умножению на обратимый элемент в кольце ℤ/nℤ. p – простое число, n > 1 n ≠ 6 1 (см. ниже) 2 n ≠ 6 2 (см. ниже) 4 p > 3 – простое число 2 n > 1 n 12 n ∈ {11, 23, 24} 1 n ∈ {12, 22} 2 n ∈ {1, 2, 3} 1
В симметричных и чередующихся группах
Внешняя группа автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана единой формулой, работающей для всех элементов семейства. Существует лишь одно исключение: внешняя группа автоморфизмов чередующейся группы имеет порядок 4, а не 2, как у других простых чередующихся групп (определяемая сопряжением нечетной перестановкой). Эквивалентно, симметричная группа является единственной симметричной группой с нетривиальной внешней группой автоморфизмов. Следует отметить, что в случае , последовательность 1 → G → Aut(G) → Out(G) → 1 не расщепляется. Аналогичный результат справедлив для любой , где q – нечетное число.
В редуктивных алгебраических группах
Пусть G теперь является связной редуктивной группой над алгебраически замкнутым полем. Тогда любые две подгруппы Бореля сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, фиксирующие данную подгруппу Бореля. С подгруппой Бореля связан набор простых корней, и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя структуру соответствующей диаграммы Динкина. Таким образом, группу автоморфизмов диаграммы Динкина группы G можно отождествить с подгруппой Out(G). Группа Spin(8) имеет весьма симметричную диаграмму Динкина, что приводит к большой группе внешних автоморфизмов, а именно ; это называется триальностью.
Игра слов
Термин внешний автоморфизм располагает к игре слов: термин внешний морфизм иногда используется вместо внешнего автоморфизма, а конкретная геометрия, на которой он действует, называется внешним пространством.