Введение

Множество элементов, не входящих в заданное подмножество.

В теории множеств, дополнение множества A, часто обозначаемое (или A′), — это множество элементов, не принадлежащих A. Если все элементы вселенной, то есть все рассматриваемые элементы, считаются принадлежащими данному множеству U, то абсолютным дополнением A является множество элементов из U, не принадлежащих A. Относительное дополнение A по отношению к множеству B, также называемое разностью множеств B и A, обозначается и представляет собой множество элементов, принадлежащих B, но не принадлежащих A.

Определение

Если A – множество, то абсолютным дополнением A (или просто дополнением A) является множество элементов, не принадлежащих A (в рамках большего множества, которое подразумевается). Иными словами, пусть U – множество, содержащее все рассматриваемые элементы; если нет необходимости упоминать U, либо потому, что оно было указано ранее, либо потому, что оно очевидно и единственно, то абсолютное дополнение A является относительным дополнением A в U.

Абсолютное дополнение A обычно обозначается , а также используются другие обозначения.

Примеры

Предположим, что вселенная — это множество целых чисел. Если A — множество нечётных чисел, то дополнение к A — множество чётных чисел. Если B — множество кратных 3, то дополнение к B — множество чисел, дающих остаток 1 или 2 при делении на 3 (или, проще говоря, целых чисел, не являющихся кратными 3). Предположим, что вселенная — это стандартная колода из 52 карт. Если множество A — масть пик, то дополнение к A — объединение мастей треф, бубен и червей. Если множество B — объединение мастей треф и бубен, то дополнение к B — объединение мастей червей и пик. Когда вселенная представляет собой вселенную множеств, описанную в формализованной теории множеств, абсолютное дополнение множества обычно само по себе не является множеством, а скорее собственным классом. Подробнее см. статью «Универсальное множество».

Примеры

Если ℝ — множество действительных чисел, а ℚ — множество рациональных чисел, то ℝ \ ℚ — множество иррациональных чисел.

Свойства

Пусть A, B и C — три множества. Следующие тождества отражают важные свойства относительных дополнений:

с важным частным случаем, демонстрирующим, что пересечение можно выразить, используя только операцию относительного дополнения. Если A ⊆ B, то B \ A эквивалентно Aᶜ ∩ B.

Латексовая обозначение

В языке типографской разметки LaTeX команда \setminus обычно используется для отображения символа разности множеств, который похож на символ обратной косой черты. При отрисовке команда \setminus выглядит идентично \backslash, за исключением того, что перед и после косой черты немного больше пространства, как в последовательности LaTeX \mathbin{\backslash}. Вариант \smallsetminus доступен в пакете amssymb, но этот символ не включен в Unicode отдельно. Символ (в отличие от) создается командой \complement. (Он соответствует символу Unicode .)