Введение

Что все утверждения некоторого языка, истинные для некоторой структуры, истинны и для другой структуры.

В теории моделей принцип переноса утверждает, что все утверждения некоторого языка, истинные для некоторой структуры, истинны и для другой структуры. Одним из первых примеров является принцип Лефшеца, который утверждает, что любое предложение на языке полей первого порядка, истинное для комплексных чисел, также истинно для любого алгебраически замкнутого поля характеристики 0.

История

Начальная форма принципа переноса была описана Лейбницем под названием «Закон непрерывности». Здесь предполагается, что бесконечно малые числа обладают «такими же» свойствами, как и обычные числа. Принцип переноса также можно рассматривать как строгую формализацию принципа постоянства. Схожие тенденции встречаются у Коши, который использовал бесконечно малые числа для определения как непрерывности функций (в «Cours d'Analyse»), так и формы дельта-функции Дирака. Теорема о том, что каждое утверждение, справедливое для R, также справедливо для *R, называется принципом переноса. Существует несколько различных версий принципа переноса, зависящих от используемой модели нестандартного анализа. В терминах теории моделей принцип переноса утверждает, что отображение из стандартной модели в нестандартную модель является элементарным вложением (вложением, сохраняющим истинность всех утверждений на языке), или иногда ограниченным элементарным вложением (аналогичным, но только для утверждений с ограниченными кванторами). Принцип переноса может приводить к противоречиям, если его применять некорректно. Например, поскольку гипердействительные числа образуют неархимедово упорядоченное поле, а действительные числа – архимедово упорядоченное поле, свойство архимедовости («каждое положительное действительное число больше, чем для некоторого положительного целого числа») на первый взгляд кажется несовместимым с принципом переноса. Утверждение «каждое положительное гипердействительное число больше, чем для некоторого положительного целого числа» ложно; однако правильная интерпретация заключается в том, что «каждое положительное гипердействительное число больше, чем для некоторого положительного гиперцелого числа». Иными словами, гипердействительные числа кажутся архимедовыми внутреннему наблюдателю, живущему в нестандартной вселенной, но кажутся неархимедовыми внешнему наблюдателю, находящемуся за пределами этой вселенной. Доступным для студентов первого курса изложением принципа переноса является книга Кейслера «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход».

Разница между R и *R

Однако принцип переноса не означает, что R и *R имеют идентичное поведение. Например, в *R существует элемент ω такой, что

, но в R нет такого числа. Это возможно, потому что невозможность существования этого числа нельзя выразить как утверждение первого порядка указанного типа. Гиперреальное число, такое как ω, называется бесконечно большим; величины, обратные бесконечно большим числам, называются бесконечно малыми. Гиперреалы *R образуют упорядоченное поле, содержащее вещественные числа R в качестве подполя. В отличие от вещественных чисел, гиперреалы не образуют стандартного метрического пространства, но благодаря своему упорядочению они наделены топологией порядка.

Конструкции гиперреальных

Гиперреальные числа могут быть построены как аксиоматически, так и с использованием более конструктивных методов. Суть аксиоматического подхода заключается в постулировании (1) существования хотя бы одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы приводим подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет построить гиперреальные числа, если задан объект теории множеств, называемый ультрафильтром, однако сам ультрафильтр не может быть явно сконструирован. Владимир Кановей и Шелах предлагают построение определимого, счетно насыщенного элементарного расширения структуры, состоящей из действительных чисел и всех финитарных отношений на них. В наиболее общем виде, принцип переноса представляет собой ограниченное элементарное вложение между структурами.