Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Аксиоматизация вероятности и физики. Шестая проблема Гильберта заключается в аксиоматизации тех областей физики, в которых широко используется математика. Она вошла в широко цитируемый список проблем Гильберта по математике, представленный им в 1900 году. В стандартном переводе на английский язык формулировка звучит следующим образом:
Axiomatization of probability and physics
Hilbert's sixth problem is to axiomatize those branches of physics in which mathematics is prevalent. It occurs on the widely cited list of Hilbert's problems in mathematics that he presented in the year 1900. In its common English translation, the explicit statement reads:
6. Математическое обоснование аксиом физики. Исследования в области основ геометрии наводят на мысль о проблеме: подвергнуть аксиоматическому рассмотрению, подобно геометрии, те физические науки, в которых математика уже сейчас играет важную роль; прежде всего, это теория вероятностей и механика. Гильберт дал дальнейшее разъяснение этой проблемы и ее возможных конкретных формулировок:
6. Mathematical Treatment of the Axioms of Physics. The investigations on the foundations of geometry suggest the problem: To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which already today mathematics plays an important part; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics. Hilbert gave the further explanation of this problem and its possible specific forms:
"В отношении аксиом теории вероятностей, мне представляется желательным, чтобы их логическое исследование сопровождалось строгим и удовлетворительным развитием метода средних величин в математической физике, и в частности, в кинетической теории газов. Работа Больцмана над принципами механики указывает на проблему математического развития предельных процессов, лишь намеченных там, которые приводят от атомистического взгляда к законам движения сплошных сред."
"As to the axioms of the theory of probabilities, it seems to me desirable that their logical investigation should be accompanied by a rigorous and satisfactory development of the method of mean values in mathematical physics, and in particular in the kinetic theory of gases. Boltzmann's work on the principles of mechanics suggests the problem of developing mathematically the limiting processes, there merely indicated, which lead from the atomistic view to the laws of motion of continua."
История
Сам Давид Гильберт посвятил значительную часть своих исследований шестой проблеме; в частности, он работал в тех областях физики, которые возникли после формулировки этой проблемы. В 1910-х годах небесная механика эволюционировала в общую теорию относительности. Гильберт и Эмми Ноэтер активно переписывались с Альбертом Эйнштейном по вопросам формулирования теории. В 1920-х годах механика микроскопических систем развилась в квантовую механику. Гильберт, при содействии Джона фон Неймана, Л. Нордхайма и Э. П. Вигнера, работал над аксиоматическим фундаментом квантовой механики (см. пространство Гильберта). Одновременно, но независимо, Дирак сформулировал квантовую механику в форме, близкой к аксиоматической системе, как и Герман Вейль при участии Эрвина Шрёдингера. В 1930-х годах Андрей Колмогоров построил аксиоматическое основание теории вероятностей, используя теорию меры. С 1960-х годов, благодаря работам Артура Уайтмана и Рудольфа Хаага, современная квантовая теория поля также может рассматриваться как близкая к аксиоматическому описанию. В 1990-х – 2000-х годах к проблеме "предельных процессов, лишь намеченных, которые ведут от атомистического взгляда к законам движения сплошных сред" обращались многие математические группы. Основные современные результаты обобщены Лорой Сент-Реймонд, Маршаллом Слемродом, Александром Н. Горбаном и Ильей Карлиным.
David Hilbert himself devoted much of his research to the sixth problem; in particular, he worked in those fields of physics that arose after he stated the problem. In the 1910s, celestial mechanics evolved into general relativity. Hilbert and Emmy Noether corresponded extensively with Albert Einstein on the formulation of the theory. In the 1920s, mechanics of microscopic systems evolved into quantum mechanics. Hilbert, with the assistance of John von Neumann, L. Nordheim, and E. P. Wigner, worked on the axiomatic basis of quantum mechanics (see Hilbert space). At the same time, but independently, Dirac formulated quantum mechanics in a way that is close to an axiomatic system, as did Hermann Weyl with the assistance of Erwin Schrödinger. In the 1930s, probability theory was put on an axiomatic basis by Andrey Kolmogorov, using measure theory. Since the 1960s, following the work of Arthur Wightman and Rudolf Haag, modern quantum field theory can also be considered close to an axiomatic description. In the 1990s 2000s the problem of "the limiting processes, there merely indicated, which lead from the atomistic view to the laws of motion of continua" was approached by many groups of mathematicians. Main recent results are summarized by Laure Saint Raymond, Marshall Slemrod, Alexander N. Gorban and Ilya Karlin.