Введение

Бимодальная функция
В математике положительно определенная функция, в зависимости от контекста, может относиться к одному из двух типов функций.

Теорема Бохнера

Положительная определенность возникает естественным образом в теории преобразования Фурье; непосредственно видно, что для того, чтобы функция была положительно определенной, достаточно, чтобы она являлась преобразованием Фурье функции g на вещественной прямой, при этом g(y) ≥ 0. Обратным утверждением является теорема Бохнера, которая гласит, что любая непрерывная положительно определенная функция на вещественной прямой является преобразованием Фурье (положительной) меры.

Приложения

В статистике, и особенно в байесовской статистике, теорема обычно применяется к вещественным функциям. Как правило, производится n скалярных измерений некоторой скалярной величины в точках пространства, и требуется, чтобы точки, расположенные близко друг к другу, имели сильно коррелированные измерения. На практике необходимо тщательно следить за тем, чтобы полученная матрица ковариаций (матрица n × n) всегда была положительно определенной. Один из подходов заключается в определении корреляционной матрицы A, которая затем умножается на скаляр, чтобы получить матрицу ковариаций: она должна быть положительно определенной. Теорема Бохнера утверждает, что если корреляция между двумя точками зависит только от расстояния между ними (через функцию f), то функция f должна быть положительно определенной, чтобы гарантировать положительную определенность матрицы ковариаций A. См. Кригинг. В этом контексте терминология Фурье обычно не используется, и вместо этого говорят, что f(x) является характеристической функцией симметричной функции плотности вероятности (PDF).

Обобщение

Можно определить положительно определенные функции на любой локально компактной абелевой топологической группе; теорема Бохнера обобщается на этот случай. Положительно определенные функции на группах возникают естественным образом в теории представлений групп в гильбертовых пространствах (то есть в теории унитарных представлений).

Определение 2

Кроме того, функция называется положительно определенной на окрестности D точки начала координат, если и для любого ненулевого . Обратите внимание, что это определение отличается от определения 1, приведенного выше. В физике иногда отказываются от требования (см., например, Corney и Olsen).