Введение

Аксиоматически определенное геометрическое пространство, алгебраическое определение того же пространства. В геометрии аффинная плоскость – это система точек и прямых, удовлетворяющих следующим аксиомам: любые две различные точки лежат на единственной прямой. Для любой прямой и любой точки, не лежащей на этой прямой, существует единственная прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая данную прямую (аксиома Плейфера). Существуют четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. В аффинной плоскости две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек. Используя это определение, аксиому Плейфера выше можно заменить следующим утверждением: для любой точки и любой прямой существует единственная прямая, проходящая через эту точку и параллельная данной прямой. Параллельность является отношением эквивалентности на множестве прямых аффинной плоскости. Поскольку в аксиомах используются только понятия, связанные с отношениями между точками и прямыми, аффинная плоскость является объектом изучения инцидентной геометрии. Это невырожденные линейные пространства, удовлетворяющие аксиоме Плейфера. Привычная евклидова плоскость является аффинной плоскостью. Существует множество конечных и бесконечных аффинных плоскостей. Помимо аффинных плоскостей над полями (и областями целостности), существуют также многие недезаргезианские плоскости, не получаемые из координат в области целостности, удовлетворяющие этим аксиомам. Плоскость Моултона является примером одной из таких плоскостей.

Отношение к проективным плоскостям

Аффинную плоскость можно получить из любой проективной плоскости, удалив прямую и все точки на ней, и наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости, добавив линию на бесконечности, каждая точка которой является точкой на бесконечности, в которой пересекается класс эквивалентности параллельных прямых. Если проективная плоскость не является дезаргезианской, удаление разных прямых может привести к неизоморфным аффинным плоскостям. Например, существует ровно четыре проективные плоскости порядка девять и семь аффинных плоскостей порядка девять. Существует только одна аффинная плоскость, соответствующая дезаргезианской плоскости порядка девять, поскольку группа коллинеаций этой проективной плоскости действует транзитивно на прямых плоскости. Каждая из трех недезаргезианских плоскостей порядка девять имеет группы коллинеаций, имеющие две орбиты на прямых, что порождает две неизоморфные аффинные плоскости порядка девять, в зависимости от того, из какой орбиты выбрана прямая для удаления.

Плоскости аффинового перехода

Линия l в проективной плоскости Π является линией трансляций, если группа элаций с осью l действует транзитивно на точки аффинной плоскости, полученной удалением l из плоскости Π. Проективная плоскость, содержащая линию трансляций, называется трансляционной плоскостью, а аффинная плоскость, полученная удалением линии трансляций, называется аффинной трансляционной плоскостью. Хотя в общем случае часто проще работать с проективными плоскостями, в данном контексте предпочтение отдается аффинным плоскостям, и некоторые авторы просто используют термин "трансляционная плоскость" для обозначения аффинной трансляционной плоскости. Альтернативный взгляд на аффинные трансляционные плоскости можно получить следующим образом: Пусть V – векторное пространство размерности 2n над полем F. Распределением в V называется множество S, состоящее из n-мерных подпространств V, которые разбивают не равные нулю векторы V. Элементы S называются компонентами распределения, и если Vi и Vj – различные компоненты, то Vi ⊕ Vj = V. Пусть A – инцидентная структура, точками которой являются векторы V, а линиями – косетами компонентов, то есть множества вида v + U, где v – вектор V, а U – компонент распределения S. Тогда: A является аффинной плоскостью, а группа трансляций x → x + w для вектора w является группой автоморфизмов, регулярно действующих на точках этой плоскости.

Обобщение: - сети

Структура инцидентности, более общая, чем конечная аффинная плоскость, называется k-сетью порядка n. Она состоит из n² точек и nk прямых, таких что:
Параллельность (как определено в аффинных плоскостях) является отношением эквивалентности на множестве прямых. Каждая прямая содержит ровно n точек, и каждый класс параллельных прямых содержит n прямых (так что каждый класс параллельных прямых разбивает множество точек). Существует k классов параллельных прямых. Каждая точка лежит на ровно k прямых, по одной из каждого класса параллельных прямых. k-сеть порядка n + 1 является точно аффинной плоскостью порядка n.

k-сеть порядка n эквивалентна набору из k − 2 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка n.

Пример: сети перевода

Для произвольного поля F, пусть Σ – множество n-мерных подпространств векторного пространства F^(2n), любые два из которых пересекаются только в {0} (называемое частичным распространением). Элементы Σ и их смещения в F^(2n) образуют линии трансляционной сети на точках F^(2n). Если это k-сеть порядка, то, начиная с аффиновой трансляционной плоскости, любое подмножество параллельных классов образует трансляционную сеть. Для заданной трансляционной сети не всегда возможно добавить параллельные классы, чтобы получить аффинную плоскость. Однако, если F – бесконечное поле, любое частичное распространение Σ, содержащее менее чем n элементов, может быть расширено, и трансляционная сеть может быть дополнена до аффинной трансляционной плоскости.

Сродственные пространства

Аффинные пространства могут быть определены аналогично построению аффинных плоскостей из проективных плоскостей. Также возможно сформулировать систему аксиом для аффинных пространств более высокой размерности, не опирающуюся на соответствующее проективное пространство.