Введение
Функция коэффициентов многочлена, дающая информацию о его корнях. В математике дискриминант многочлена — это величина, зависящая от его коэффициентов и позволяющая выводить некоторые свойства корней без их вычисления. Более точно, это полиномиальная функция от коэффициентов исходного многочлена. Дискриминант широко используется в факторизации многочленов, теории чисел и алгебраической геометрии. Дискриминант квадратного многочлена — это величина, которая находится под знаком квадратного корня в квадратной формуле. Этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. В случае действительных коэффициентов он положителен, если многочлен имеет два различных действительных корня, и отрицателен, если многочлен имеет два различных комплексно сопряженных корня. Аналогично, дискриминант кубического многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. В случае кубического многочлена с действительными коэффициентами дискриминант положителен, если многочлен имеет три различных действительных корня, и отрицателен, если многочлен имеет один действительный корень и два различных комплексно сопряженных корня. В более общем случае, дискриминант унивариантного многочлена положительной степени равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. Для действительных коэффициентов и отсутствия кратных корней дискриминант положителен, если число комплексных корней кратно 4 (включая ноль), и отрицателен в противном случае. Существуют также обобщения, называемые дискриминантами: дискриминант алгебраического поля чисел, дискриминант квадратичной формы и, в более широком смысле, дискриминант формы, однородного многочлена или проективной гиперповерхности (эти три понятия по существу эквивалентны).
In mathematics, the discriminant of a polynomial is a quantity that depends on the coefficients and allows deducing some properties of the roots without computing them. More precisely, it is a polynomial function of the coefficients of the original polynomial. The discriminant is widely used in polynomial factoring, number theory, and algebraic geometry. The discriminant of the quadratic polynomial is
the quantity which appears under the square root in the quadratic formula. If this discriminant is zero if and only if the polynomial has a double root. In the case of real coefficients, it is positive if the polynomial has two distinct real roots, and negative if it has two distinct complex conjugate roots. Similarly, the discriminant of a cubic polynomial is zero if and only if the polynomial has a multiple root. In the case of a cubic with real coefficients, the discriminant is positive if the polynomial has three distinct real roots, and negative if it has one real root and two distinct complex conjugate roots. More generally, the discriminant of a univariate polynomial of positive degree is zero if and only if the polynomial has a multiple root. For real coefficients and no multiple roots, the discriminant is positive if the number of non real roots is a multiple of 4 (including none), and negative otherwise. Several generalizations are also called discriminant: the discriminant of an algebraic number field; the discriminant of a quadratic form; and more generally, the discriminant of a form, of a homogeneous polynomial, or of a projective hypersurface (these three concepts are essentially equivalent).
Происхождение
Термин "дискриминант" был введен в 1851 году британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестером.
Низкая степень
Дискриминант линейного многочлена (степени 1) редко рассматривается. Если он необходим, то обычно определяется как равный 1 (используя общепринятые соглашения для пустого произведения и учитывая, что один из двух блоков матрицы Сильвестра пуст). Общего соглашения относительно дискриминанта постоянного многочлена (то есть многочлена степени 0) не существует. Для малых степеней дискриминант достаточно прост (см. ниже), но с ростом степени он может стать громоздким. Например, дискриминант общего многочлена четвертой степени содержит 16 слагаемых, многочлена пятой степени – 59 слагаемых, а многочлена шестой степени – 246 слагаемых. Это последовательность в OEIS.
Нулевой дискриминант
Дискриминант многочлена над полем равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень в некотором расширении поля. Дискриминант многочлена над областью целостности равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен и его производная имеют неконстантный общий делитель. В характеристике 0 это эквивалентно тому, что многочлен не является многочленом без квадратов (то есть делится на квадрат некоторого неконстантного многочлена). В ненулевой характеристике p дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен не является многочленом без квадратов или имеет неприводимый фактор, который не является разделимым (то есть неприводимый фактор является многочленом в ).
Настоящие корни
В этом разделе все многочлены имеют действительные коэффициенты. Было показано, что знак дискриминанта предоставляет полезную информацию о характере корней для многочленов степени 2 и 3. Для степеней выше информация, предоставляемая дискриминантом, менее полная, но всё ещё полезна. Более точно, для многочлена степени n справедливо следующее: многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Если дискриминант положителен, число комплексных корней является кратным 4. То есть, существует неотрицательное целое число k ≤ n/4, такое что имеется 2k пар комплексно сопряжённых корней и n − 4k действительных корней. Если дискриминант отрицателен, число комплексных корней не является кратным 4. То есть, существует неотрицательное целое число k ≤ (n − 2)/4, такое что имеется 2k + 1 пара комплексно сопряжённых корней и n − 4k + 2 действительных корней.
The polynomial has a multiple root if and only if its discriminant is zero. If the discriminant is positive, the number of non real roots is a multiple of 4. That is, there is a nonnegative integer k ≤ n/4 such that there are 2k pairs of complex conjugate roots and n − 4k real roots. If the discriminant is negative, the number of non real roots is not a multiple of 4. That is, there is a nonnegative integer k ≤ (n − 2)/4 such that there are 2k + 1 pairs of complex conjugate roots and n − 4k + 2 real roots.
Использование в алгебраической геометрии
Типичное применение дискриминантов в алгебраической геометрии — для изучения плоских алгебраических кривых и, в более общем случае, алгебраических гиперповерхностей. Пусть V — такая кривая или гиперповерхность; V определяется как множество нулей многочлена от нескольких переменных. Этот многочлен можно рассматривать как многочлен от одной переменной, где коэффициентами являются многочлены от остальных переменных. Дискриминант относительно выбранной переменной определяет гиперповерхность W в пространстве остальных переменных. Точки W являются точной проекцией точек V (включая точки на бесконечности), которые либо являются особыми, либо имеют касательную гиперплоскость, параллельную оси выбранной переменной. Например, пусть f — многочлен от двух переменных X и Y с вещественными коэффициентами, так что f = 0 является неявным уравнением вещественной плоской алгебраической кривой. Рассматривая f как многочлен от Y с коэффициентами, зависящими от X, дискриминант является многочленом от X, корни которого — это X-координаты особых точек, точек с касательной, параллельной оси Y, и некоторых асимптот, параллельных оси Y. Иными словами, вычисление корней дискриминанта по Y и дискриминанта по X позволяет вычислить все замечательные точки кривой, за исключением точек перегиба.
Обобщения
Существует два класса понятия дискриминанта. Первый класс – это дискриминант алгебраического поля чисел, который в некоторых случаях, включая квадратичные поля, является дискриминантом полинома, определяющего это поле. Дискриминаторы второго класса возникают для задач, зависящих от коэффициентов, когда вырожденные случаи или сингулярности задачи характеризуются обращением в нуль некоторого многочлена относительно коэффициентов. Это справедливо для дискриминанта полинома, который равен нулю, когда два корня совпадают. Большинство случаев, в которых определяется такой обобщенный дискриминант, являются частными следующего. Пусть A – однородный многочлен от n переменных над полем характеристики 0 или простого числа, не делящего степень многочлена. Полином A определяет проективную гиперповерхность, имеющую сингулярные точки тогда и только тогда, когда n частных производных A имеют нетривиальный общий ноль. Это выполняется тогда и только тогда, когда многомерный результирующий этих частных производных равен нулю, и этот результирующий можно рассматривать как дискриминант A. Однако из-за целочисленных коэффициентов, возникающих в процессе вычисления, этот многомерный результирующий может делиться на некоторую степень n, и поэтому лучше брать в качестве дискриминанта примитивную часть результирующего, вычисленную для общих коэффициентов. Ограничение на характеристику необходимо, поскольку в противном случае общий ноль частных производных не обязательно является нулем самого многочлена (см. тождество Эйлера для однородных многочленов). В случае однородного двумерного многочлена степени d, этот общий дискриминант равен дискриминанту, определенному в… Другие классические типы дискриминантов, являющиеся частными случаями общего определения, описаны в следующих разделах.
Дискриминатор алгебраического поля чисел
Дискриминант алгебраического поля чисел измеряет размер (кольца целых чисел) алгебраического поля чисел. Более конкретно, он пропорционален квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и определяет, какие простые числа ветвятся. Дискриминант является одним из наиболее фундаментальных инвариантов числового поля и встречается в нескольких важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда для K и аналитическая формула числа классов для K. Теорема Эрмита утверждает, что существует лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этой величины до сих пор остается открытой проблемой и предметом текущих исследований. Пусть K – алгебраическое числовое поле, а OK – его кольцо целых чисел. Пусть b1, …, bn – интегральный базис OK (т.е. базис как Z-модуль), и пусть {σ1, …, σn} – множество вложений K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец K → C). Дискриминант K равен квадрату определителя матрицы B размера n × n, у которой (i,j)-й элемент равен σi(bj). Символически,
Дискриминант K можно называть абсолютным дискриминантом K, чтобы отличать его от дискриминанты расширения K/L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L и, как и абсолютный дискриминант, указывает, какие простые числа ветвятся в K/L. Это обобщение абсолютного дискриминанта, допускающее, чтобы L было больше Q; фактически, когда L = Q, относительный дискриминант K/Q является главным идеалом в Z, порожденным абсолютным дискриминантом K.
Факторизация простых чисел
Фундаментальные дискриминанты также могут быть охарактеризованы их разложением на простые множители. Рассмотрим множество, состоящее из простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 4 (положительные) и простых чисел, сравнимых с 3 по модулю 4 (отрицательные): Целое число является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно может быть представлено в виде произведения попарно взаимно простых элементов этого множества.